Có : 11..1  22..2  = 11...1 + 00..0 + 22..2

      100cs1  100cs2   100cs1  100cs0  100cs2

= 11..1 + 10¹⁰⁰ + 2. 11..1

  100cs1                    100 cs1

= 11..1 . ( 10¹⁰⁰ +2)

      100cs1

= 11..1  .  1 00..0 2

   100cs1 .   99cs0

Xét : 1 00..02 = 3 + 99..9    = 3 + 9 . 11..1

           99 cs0           100cs9              100 cs1

= 3 . (1+3 + 11..1 ) = 3. ( 1 + 33..3 )  = 3. 33...34

                   100cs1                100cs3        99cs3

Vậy 11..1 22..2  =      11..1 . 3 . 33..34  = 33..3     . 33..34      là tích 2 STNLT

         100cs1 100cs2  100cs1    99cs3      100cs3     99cs3

Ta có:

\(A=111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)

\(=111...111.\left(999...999+1\right)+222...222\)

\(=111...111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)

Đặt \(111...111=n\)

\(\Rightarrow A=n.\left(9n+1\right)+2.n=n\left(9n+3\right)=3n\left(3n+1\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Lời giải:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{100}=a\Rightarrow 9a+1=1\underbrace{000...0}_{100}\)

Khi đó:
\(\underbrace{1111....1}_{100}\underbrace{222....2}=\underbrace{111...1}_{100}\times 1\underbrace{00...0}_{100}+\underbrace{222....2}_{100}\)

\(a(9a+1)+2a=9a^2+3a=3a(3a+1)\) là tích của 2 số
 tự nhiên liên tiếp $3a, 3a+1$

Ta có đpcm.

1)Ta có:

\(111...11222...22\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right)=10^{100}.111...111\left(100 cs 1\right)+222...22\left(100 cs 2\right)\)

\(=10^{100}.\frac{10^{100}-1}{9}+2.\frac{10^{100}-1}{9}=\frac{10^{100}\left(10^{100}-1\right)+2\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{\left(10^{100}+2\right)\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{10^{100}+2}{3}.\frac{10^{100}-1}{3}\)

\(M\text{à} \frac{10^{100}+2}{3}\ne\frac{10^{100}-1}{3} \)

\(\Rightarrow111...11222..2\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right) \) không phải là tích 2 số tự nhiên

2) Để dacb chia hết cho 4 thì cb chia hết cho 4

Ta có :

cb=10c+b=8c+2c+b

Mà 8c chia hết cho 4 nên

2c+b cũng phải chia hết cho 4(đpcm)

2/ Ta chú ý cái này:

\(10^{100}=999...999+1=9.111...111+1\)

\(222...222=2.111...111\)

Ta đặt \(111...111=n\)

\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)

\(=111...111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)

\(=n\left(9n+1\right)+2n=9n^2+3n=3n\left(3n+1\right)\)

Vậy \(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liến tiếp

1/ Ta có: \(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) là tích của 2 số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\left(1\right)\)

Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p có 2 dạng là: \(\orbr{\begin{cases}3k+1\\3k+2\end{cases}}\)

Với \(p=3k+1\)

\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k=3k\left(3k+2\right)⋮3\)

Với \(p=3k+1\)

\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+12k+3=3\left(3k^2+4k+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow p^2-1⋮3\left(2\right)\)

Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2)

\(\Rightarrow p^2-1⋮\left(3.8=24\right)\)

ta chú ý

\(^{10^{100}}=999....999+1=9.111....111+1\)

\(222...222=2.111...111\)

Ta đặt :\(111...111=b\)

\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)

\(=111.111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)

\(=b\left(9b+1\right)+2b=9n^2-3b=3b\left(3b+1\right)\)

Vậy\(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

Ta có : \(A=11...122...2=11...100...0+22...2\) ( 100 c/s 1 ; 100 c/s 0 ; 100 c/s 2 )

\(=11...1.\left(100...0+2\right)\) ( 100 c/s 1 ; 100 c/s 0 )

\(=11...1.\left(3.33...34\right)\) ( 100 c/s 1 ; 99 c/s 3 )

\(=33...3.33...34\) ( 100 c/s 3 ; 99 c/s 3 )

Vậy A là tích của hai STN liên tiếp

Đặt  \(P=111...111222...222\), ta có:

\(P=111...111222...222\)  (có \(100\)  số  \(1\)  và  \(100\)  số  \(2\) )

     \(=111...111000...000+222...222\)  (có   \(100\)  số  \(1\),  \(100\)  số  \(0\)  và  \(100\)  số  \(2\) )

     \(=111...111.10^{100}+2.111...111\)  

\(P=111...111\left(10^{100}+2\right)\)  

Đặt  \(111...111=k\), \(\Rightarrow\)  \(9k=999...999\)  (có  \(100\)  số  \(9\) ) nên  \(9k+1=1000...000=10^{100}\) 

Do đó,  \(P=k\left(9k+1+2\right)=k\left(9k+3\right)=3k\left(3k+1\right)\)

Mà  \(3k\)  và  \(3k+1\)  lại là  \(2\)  số tự nhiên liên tiếp nên suy ra điều phải chứng minh.