Ta có:

\(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2012}=\frac{1}{1\cdot2:2}+\frac{1}{2\cdot3:2}+...+\frac{1}{2012\cdot2013:2}\)

\(=\frac{2}{1\cdot2}+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+...+\frac{2}{2012\cdot2013}=2\left[\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2012\cdot2013}\right]\)

\(=2\left[\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]+...+\left[\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right]\right]\)

\(=2\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right]=2\left[1-\frac{1}{2013}\right]\)

\(=2\cdot\frac{2012}{2013}=\frac{4024}{2013}\)

Thế vào bài toán, ta có:

\(\frac{2\cdot2012}{\frac{4024}{2013}}=\frac{4024}{\frac{4024}{2013}}=2013\)

giúp mình với nhé

mk cũng lười lắm ,dài quá,mkcũng k hỉu sory

\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)

\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)

\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)

Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1

Vậy M không là số tự nhiên.

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))

\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)

Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{50}+\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\)(50 số hạng \(\frac{1}{50}\))

\(\Rightarrow S< \frac{1}{50}.50=1\)

Vậy S < 1 (đpcm)

ta có biêu thức trên\(\: < \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2012.2013}\)=\(\frac{2012}{2013}< 1\)

do dó biểu thức <1

Chứng minh biểu thức trên làm sao?

Chứng minh kiểu j vậy? Biểu thức có mỗi 1 vế

\(\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^2-4\left(\frac{x^2-1}{x^2-4}\right)^2+3\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2=0\left(1\right)\)

\(ĐKXĐ:x\ne\pm2\)

Đặt \(\frac{x-1}{x+2}=a;\frac{x+1}{x-2}=b\)

=> Phương trình (1) <=> \(a^2-4ab+3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-3ab-ab+3b^2=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-3b\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-3b=0\\a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3b\\a=b\end{cases}}}\)

=>  \(b=0;a=0\)

Bạn cùng trường :">

Bạn xem lại đề