Cho a là số gồm 2n chữ số 1,b là số gồm n+1 chữ số 1,c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chinh phương

Ta có:

a+b+c+8

=111...1(2n c/s 1)+111...1(n+1 c/s1)+666...6(n chữ số 6)+8

=111...1(n-1 c/s 1)2888...8(n c/s 8)+8

=111...1(n-1 c/s 1)2888..8(n-2 c/s 8)96

Ta thấy:

36²(1c/s3)=1296(1 c/s 1;0 c/s 8)

336²(2c/s 3)=112896(2 c/s 1;1c/s 8)

3336²(3c/s 3)=11128896(3 c/s 1;2 c/s 8)

=>333...36²(n-1 c/s 3)=111...1(n-1 c/s 1)2888..8(n-2 c/s 8)96

=>a+b+c+8 là số chính phương(ĐPCM)

\(A=11...1\left(2n\right);B=11...1\left(n+1\right);C=66...6\left(n\right)\)

\(\Rightarrow A+B+C+8=11...1\left(2n\right)+11...1\left(n+1\right)+66...6\left(n\right)+8\)

\(=11...1\left(n\right).10^n+11...1\left(n\right)+11...1\left(n\right).10+1+6.11...1\left(n\right)+8\)

\(=11...1\left(n\right).10^n+17.11...1\left(n\right)+9\)

Đặt\(11...1\left(n\right)=a\)

\(\Rightarrow10^n=9a+1\)

\(\Rightarrow A+B+C+8=a\left(9a+1\right)+17a+9\)

\(=9a^2+18a+9a=\left(3a+3\right)^2\)

Thay \(a=11...1\left(n\right)\Rightarrow A+B+C+8=\left(3.11...1\left(n\right)+3\right)^2\)

Chú thích: n;n+1;2n là số chữ số

ok

`a=11...11`(2n số 1)

`b=11...11`(n+1 số 1)

`c=66...66`(n số 6)

`->a+b+c+8=11...11+11...11+66...66+8`

\(=\dfrac{10^{2n}-1}{9}+\dfrac{10^{n+1}-1}{9}+\dfrac{6\left(10^n-1\right)}{9}+\dfrac{72}{9}\\ =\dfrac{10^n-1+10^{n+1}-1+6\left(10^n-1\right)+72}{9}\\ =\dfrac{\left(10^n\right)^2+10\cdot10^n+6\cdot10^n-6+70}{9}\\ =\dfrac{\left(10^n\right)^2+16\cdot10^n+64}{9}\\ =\left(\dfrac{10^n+8}{3}\right)^2\)

`->a+b+c+8` là số chính phương 

`->đpcm`

tick giúp mình nha

Lời giải

Đặt k = 11...1(n chữ số 1).

Thì a = 11...1111(2n chữ số 1) = 11..100..0 + 11...11 = k(9k + 1) + k = 9k2 + 2k.

Tương tự, b = 10k + 1; c = 6k.

=> a + b + c + 8 = 9k2 + 2k + 10k + 1 + 6k + 8 = 9k2 + 18k + 9 = (3k + 3)2.

Vậy a + b + c + 8 là số chính phương.

Chứng minh lại

Ta có:

a + b + c + 8 = (9k2 + 2k) + (10k + 1) + (6k) + 8 = 9k2 + 18k + 9 = (3k + 3)2

Ta thấy rằng (3k + 3)2 là bình phương của số tự nhiên (3k + 3). Do đó, a + b + c + 8 là số chính phương.

Kết luận

Bằng cách đặt k = 11...1(n chữ số 1), ta có thể chứng minh được rằng a + b + c + 8 là số chính phương.