Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=3. Tính GTNN của
\(P=\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=3
Tìm GTNN của P= \(\frac{5}{x^2+y}+\frac{3}{xy}\)
Cần gấp lắm ạ! Hóng cao nhân
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}>=\frac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:
A= \(\frac{yz}{x^3+2}+\frac{xz}{y^3+2}+\frac{xy}{z^3+2}\)
Mình là thành viên mới, rất mong được học hỏi. Xin hãy giúp đỡ mình ạ!!!
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: \(x^3+y^3+6xy\le8\)
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}+xy\)
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn xy=2
tìm GTNN của \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+3y}\)
1) Cho x, y các số dương thỏa mãn x + y + xy = 8. Tìm GTNN của biểu thức P= x2 + y2
2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của \(N=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
3) Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x,y,z>0 thỏa mãn x(x-z)+y(y-z) =0 tìm GTNN của \(P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho x;y;z là 3 số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=9\). Tính GTNN cảu biểu thức
\(S=\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)
Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1.Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\)
cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn XY = 2. Tìm GTNN của biểu thức \(M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2