Vì ABCD là hình thang cân 

Gọi H là giao điểm AB và OE 

=> AB // CD 

ADC = BCD 

Mà OAB = ADC ( đồng vị) 

BCD = OBA ( đồng vị)

Mà ADC = BCD

=> ∆BOA cân tại O 

Tự xét ∆OAH = ∆OBH(c.g.c)

=> HA = HB 

=> OH vuông góc với AB 

Hay OE vuông góc với AB 

=> OE là trung trực AB 

Gọi G là giao điểm DC và OE 

Mà AB//CD(cmt)

=> GHB = HGD = 90° 

=> OG vuông góc với DC

Hay OE vuông góc với DC 

Tự xét ∆ACD = ∆BDC 

=> DAE = CBE ( tg ứng )

Tự xét ∆AED = ∆BEC (g.c.g)

=> DE = EC

=> DEC cân tại E

Mà ∆DEC có OH là đường cao 

=> OH là trung trực DC 

Hay OE là trung trực DC(dpcm)

Vì ABCD là hình thang cân 

Gọi H là giao điểm AB và OE 

=> AB // CD 

ADC = BCD 

Mà OAB = ADC ( đồng vị) 

BCD = OBA ( đồng vị)

Mà ADC = BCD

=> ∆BOA cân tại O 

Tự xét ∆OAH = ∆OBH(c.g.c)

=> HA = HB 

=> OH vuông góc với AB 

Hay OE vuông góc với AB 

=> OE là trung trực AB 

Gọi G là giao điểm DC và OE 

Mà AB//CD(cmt)

=> GHB = HGD = 90° 

=> OG vuông góc với DC

Hay OE vuông góc với DC 

Tự xét ∆ACD = ∆BDC 

=> DAE = CBE ( tg ứng )

Tự xét ∆AED = ∆BEC (g.c.g)

=> DE = EC

=> DEC cân tại E

Mà ∆DEC có OH là đường cao 

=> OH là trung trực DC 

Hay OE là trung trực DC

1. 

+) Tứ giác ABCD kà hình thang cân => góc ADC = BCD và AD = BC

=> tam giác ODC cân tại O => OD = OC  

 mà AD = BC => OA = OB

+) tam giác ODB và OCA có: OD = OC; góc DOC chung ; OB = OA 

=> Tam giác ODB = OCA (c - g - c)

=> góc ODB = OCA mà góc ODC = OCD => góc ODC - ODB = OCD - OCA

=> góc EDC = ECD => tam giác EDC cân tại E => ED = EC (2)

Từ (1)(2) => OE là đường  trung trực của CD

=> OE vuông góc CD mà CD // AB => OE vuông góc với AB

Tam giác OAB cân tại O có OE là đường cao nên đồng thời là đường  trung trực

vậy OE là đường trung trực của AB

Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)

⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)

⇒ΔOCD cân tại O (dhnb tam giác cân)

⇒ OC = OD

OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (hình thang ABCD cân)

⇒ OA = OB

Xét ΔADC và. ΔBCD:

AD = BC (hình thang ABCD cân )

AC = BD (hình thang ABCD cân)

CD chung

Do đó ΔADC và ΔBCD (c.c.c)

⇒ ∠D1= ∠C1

⇒ΔEDC cân tại E (dhnb tam giác cân)

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (hình thang ABCD cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

Mà OA = OB (cmt)

Nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Ta có:  ∠ (ADC) = ∠ (BCD) (gt)

⇒  ∠ (ODC) =  ∠ (OCD)

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD

OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét  ∆ ADC và ∆ BCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân )

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó  ∆ ADC và ∆ BCD (c.c.c)

⇒  ∠ D 1 = ∠ C 1

⇒ ∆ EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E  ≠  O. Vậy OE là đường trung trực của AB.