Lời giải:

1.PT hoành độ giao điểm:

$x^2-mx-4=0(*)$ 

Khi $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=4$

Với $x=-1$ thì $y=(-1)^2=1$. Giao điểm thứ nhất là $(-1;1)$

Với $x=4$ thì $y=4^2=16$. Giao điểm thứ hai là $(4;16)$

2.

$\Delta (*)=m^2+16>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, đồng nghĩa với việc 2 ĐTHS luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A(x_1,y_1); B(x_2,y_2)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=-4$

Khi đó:

$y_1^2+y_2^2=49$

$\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49$

$\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2=17$

$\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0$

$\Leftrightarrow (m^2-1)(m^2+17)=0$

$\Rightarrow m^2=1$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$

Ta có : \(y'=-x^2+2mx+m-2\Rightarrow\Delta'=m^2+m-2\)

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> phương trình y' =0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)  và thỏa mãn :

\(\left|x_1-x_2\right|=4\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\\left|x_1-x_2\right|=4\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=16\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\4m^2+4\left(m-2\right)=16\end{cases}\)

                    \(\Leftrightarrow m=2\) hoặc \(m=-3\)

Kết luận  \(m=2\) hoặc \(m=-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)

Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)

\(y\) có TXĐ là \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow (mx+3)(x-2) ≥0\)

TH1: \(\left[ \begin{array}{l}mx+3\\x-2=0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{-3}{m} (m\ne0)\\x=2\end{array} \right.\)

TH2: \(\begin{cases}mx+3>0\\x-2>0\\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > \dfrac{-3}{m} \\x>2\\\end{cases} \)

TH3: \(\begin{cases}mx+3<0\\x-2<0\\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x < \dfrac{-3}{m}\\x<2\\\end{cases} \)

Vậy...