Gọi số tự nhiên phải tìm là abcd(a,d\(\ne\)0; a,b,c,d <10)

Vì số chính phương có 4 chữ số có 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối ( không đổi thứ tự các chữ số) tạo thành 2 số chính phương

=> ab và cd à 2 số chính phương.

TH1: Nếu ab=cd, mà ab và cd là 2 số chính phương

=>ab\(\in\){ 16; 25;36;49;64;81}

cd\(\in\){16;25;36;49;64;81}

Ta được các số 1616;2525;3636;4949;6464;8181

Ta thấy: 1616;2525;4949;6464 chia cho 3 đều dư 2( do 1+6+1+6; 2+5+2+5;4+9+4+9;6+4+6+4 đều chia cho 3 dư 2)

Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

=> 4 số trên đều không phải là số chính phương

TH2: Nếu ab\(\ne\)cd; mà cd và ab là 2 số chính phương

=> Ta lập được các số

1625;2516; 3616; 4916;6416;8116

1636; 2536;3625;4925;6425;8125

1649; 2549;3649;4936;6436;8136

1664;2564;3664;4964;6449;8149

1681 ; 2581; 3681;4981;6481;8164

Mà số chính phương chia cho 3 dư 0;1

=>Các số 1625;1664;1649;2516;2549;2564;4916;4925; 4964;6416;6425;6449 không phải là số chính phương.

Sau đó phân ích các số còn lại ra thừa số nguyên tố rồi thử chọn

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (a,b,c \(\in N\), 10 > a,b,c \(\ge0\))

TH1: \(\overline{ab}=4\overline{bc}\)

=> \(10a+b=40b+4c\)

=> \(10a=39b+4c\)

Mà b\(\ge1,c\ge0\) => \(39b+4c\ge39\)

=> 10a \(\ge39\)

=> a \(\ge4\)

Do \(\overline{ab}\) là số chính phương

=> \(\overline{ab}\in\left\{49;64;81\right\}\)

- Với \(\overline{ab}=49\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=9\end{matrix}\right.\) => 4c = -311 (loại)

- Với \(\overline{ab}=64=>\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\) => 4c = - 96 (loại)

- Với \(\overline{ab}=81=>\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=1\end{matrix}\right.\) => 4c = 41 => c = \(\dfrac{41}{4}\) (loại)

TH2: \(4\overline{ab}=\overline{bc}\)

=> 40a + 4b = 10b + c

=> 40a = 6b + c

Mà \(b\le9;c\le9\)

=> 6b + c \(\le63\)

=> 40a \(\le63\)

=> a \(\le1\)

=> a = 1

Mà \(\overline{ab}\) là số chính phương

=>  \(\overline{ab}\)  = 16

=> b = 6

=> c = 4

Vậy số cần tìm là 164

Gọi số phải tìm là: \(n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\)

Đặt \(x=\overline{a_1a_2a_3}\left(x\varepsilon N\right)\Rightarrow\overline{a_4a_5a_6}=\overline{a_1a_2a_3}+1=x+1\)

\(\Rightarrow n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}=\overline{a_1a_2a_3}.1000+\overline{a_4a_5a_6}=x.1000+\left(x+1\right)=1001x+1\)

Do n là số chính phương nên ta sẽ có: \(1001x+1=y^2\left(y\varepsilon N\right)\)

\(\Rightarrow y^2-1=1001x\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y+1\right)=7.11.13.x\)

Ta lại có: \(100\le x\le999\Rightarrow317\le y\le1000\)( * )

Các số 7,11,13 là các số nguyên tố nên \(\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)phải chia hết cho 7; 11 và 13. Kết hợp với điều kiện ( * ) ta có:

  - Trường hợp 1: \(y+1=11.13k=143k\Leftrightarrow y=143k-1\)và \(y-1=7k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k\varepsilon\left(3;4;5;6\right)\)chỉ có \(k=3;k'=61\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=183\Rightarrow n=183184\)

  - Trường hợp 2: \(y-1=11.13k=143k\Leftrightarrow y=143k+1\)và \(y+1=7k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k\varepsilon\left(3;4;5;6\right)\)chỉ có \(k=4;k'=82\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=328\Rightarrow n=328329\)

  - Trường hợp 3: \(y+1=7.11k=77k\Leftrightarrow y=77k-1\)và \(y-1=13k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{5..12}\)chỉ có \(k=11;k'=65\)thỏa điều kiện \(\Rightarrow x=715\Rightarrow n=715716\)

  - Trường hợp 4: \(y-1=7.11k=77k\Leftrightarrow y=77k+1\)và \(y+1=13k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{5..12}\)không tồn tại \(k\)và \(k'\)thỏa điều kiện.

  - Trường hợp 5: \(y+1=7.13k=91k\Leftrightarrow y=91k-1\)và \(y-1=11k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{4..10}\)chỉ có \(k=8;k'=66\)thỏa điều kiện \(x=528\Rightarrow n=528529\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

  - Trường hợp 6: \(y-1=7.13k=91k\Leftrightarrow y=91k+1\)và \(y+1=11k'\left(k,k'\varepsilon N\right)\)

Khi ấy \(k=\overline{4..10}\)không tồn tại \(k\)và \(k'\)thỏa điều kiện.

Vậy các số thỏa mãn đề bài là: 183184, 328329, 715716, 528529.

???????????????????????//

1) ta có A = n^2+n+1 = n^2+n+n-n-1 = n(n+1)+1(n+1)+1(n+1) = (n+1)(n+1)+1 = (n+1)^2 +1

(n+1)^2+1=0

=> n+1=1                                                       =>n+1=-1

=>n=0                                                           =>n=-2(loại)

vậy n=0