Giải:

Ta có: a + b + c = 0 nên suy ra: b = – (a + c) thay vào biểu thức:

ab + 2bc + 3ca = -a.(a + c) – 2c.(a + c) + 3ac = -a² – ac – 2ac – 2c² + 3ac = – (a² + 2c²) ≤ 0 (đpcm). 

Trả lời

Theo đề ra ta có:

a+b+c=0

\(\Rightarrow\)ab+2ab+3ac=-a(a+c)-2c(a+c)+3ac

          =\(-a^2-ac-2ac-2ac^2+3ac\)

           \(=-\left(a^2+2c^2\right)\le0\)

Vậy nếu a+b+c=0 thì \(ab+2bc+3ac\le0\left(đpcm\right)\)

Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0 

Ta có \(a+b+c=0\)

\(=>a=-b-c\)

Ta có \(ab+bc+ac\le0\)

\(=>\left(-b-c\right)b+bc+\left(-b-c\right)c\le0\)

\(=>-b^2-bc+bc-bc-c^2\le0\)

\(=>-b^2-bc-c^2\le0\)

\(=>-\left(b^2+bc+c^2\right)\le0\)(ĐPCM)

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)

\(a^2+b^2+c^2\ge0\)

\(a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ac\right)\)

\(\Rightarrow2ab+2bc+2ca\le0\Leftrightarrow ab+bc+ac\le0\)

Ta có : \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ta lại có : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(2>0\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Áp dụng bđt bu nhi a ta có 

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\left(-2-c\right)^2\le2\left(2-c^2\right)\)

=> \(c^2+4c+4\le4-2c^2\)

=> \(3c^2+4c\le0\Rightarrow c\left(3c+4\right)\le0\Rightarrow-\frac{4}{3}\le c\le0\)

\(f\left(-2\right)=4a-2b+c\)

\(f\left(3\right)=9a+3b+c\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right)+f\left(3\right)=0\)

Tích 2 số đối nhau bé hơn hoặc bằng 0

=>dpcm 😀

nhờ bạn giúp mình giải bài với....!

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao AE,BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với HM , a cắt AB,AC lần lượt tại I,K. gọi G là giao điểm cuarCH và AB. chứng minh:\(\frac{AH}{HE}+\frac{BH}{HF}+\frac{CH}{HG}< 6\)

giúp mình với nha! càng nhanh càng tốt bạn nhé! cảm ơn trước vậy.....

Đề bài???