Cách 1:Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k;\Rightarrow a=bk,c=dk\Leftrightarrow\)

\(\frac{a}{b}=\frac{bk}{b}=k\left(1\right)\)

\(\frac{c}{d}=\frac{dk}{d}=k\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Cách 2:Đặt: a/b = c/d = k => a = bk, c = dk 

Ta có: 

a + b/a - b = bk + b/bk - b = b(k+1)/ b(k-1) = k+1/k-1 (1) 

c + d/c- d = dk +d/ dk - d = d(k+1)/d(k-1) = k+1/k-1 (2) 

Từ (1) và (2) => a+b/a-b = c+d/c-d 

Vì \(x< y\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\) (*)

Thêm ab vào hai vế của (*) : ad + ab < bc + ab

                                             => a(b+d) < b(a+c)

                                            => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) 

                                            => x < z (1)

Thêm cd vào hai vế của (*): ad + cd < bc + cd

                                          => d(a + c) < c(b + d)

                                          => \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)  

                                          => z < y (2)

Từ (1) và (2) => x < z < y

Vì x<y⇒ab <cd ⇒ad<bc (*)

Thêm ab vào hai vế của (*) : ad + ab < bc + ab

                                             => a(b+d) < b(a+c)

                                            => ab <a+cb+d  

                                            => x < z (1)

Thêm cd vào hai vế của (*): ad + cd < bc + cd

                                          => d(a + c) < c(b + d)

                                          => a+cb+d <cd   

                                          => z < y (2)

Từ (1) và (2) => x < z < y

1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)

Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)

\(\Rightarrow A=4\)

2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)

Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)

Bài 2 :

a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)

\(\Rightarrow6x=12\)

\(\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow y=3\)

Vậy ...

Ta có:\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\Rightarrow ad.ab< bc.ab\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)(1)

và \(ad< bc\Rightarrow ad.cd< bc.cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

@LêMinhAnh Cảm ơn bạn <3