Biết ba góc tam giác ABC thỏa mãn \(sinC=\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}\)
Vậy góc A nằm trong khoảng từ bao nhiêu độ đến bao nhiêu độ?
Tìm tính chất của tam giác ABC thỏa:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
SinA+SinB+SinC > 2.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
CosA+CosB+CosC <= 2/3.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
CotA+CotB+CotC <= căn bậc hai của 3.Với A,B,C là ba góc nhọn trong tam giác.
cho tam giác abc có 3 góc nhọn. Vẽ đường cáo AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) \(0< cos^2A+cos^2B+cos^2C< 1\)
b)\(2< sin^2A+sin^2B+sin^2C< 3\)
c)sinA + sinB + sinC < 2( cosA + cosB + cosC)
d)sinB . cosC + sinC . cosB = sinA
e)tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC
Nhận dạng tam giác ABC biết:
\(\left\{{}\begin{matrix}sinA=\frac{cosA+cosB}{sinB+sinC}\\2sinBsinC=1+cosA\end{matrix}\right.\)
\(2sinB.sinC=1+cosA\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)-cos\left(B+C\right)=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)+cosA=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)=1\)
\(\Rightarrow B-C=0\Rightarrow B=C\)
\(sinA=\frac{cosA+cosB}{sinB+sinC}=\frac{cosA+cosB}{2sinB}\) (do \(B=C\))
\(\Leftrightarrow2sinA.sinB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosC=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)=cosB\)
\(\Rightarrow A-B=B\Rightarrow A=2B=B+C\)
Mà \(A+B+C=180^0\Rightarrow2A=180^0\Rightarrow A=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A
CHo tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn điều kiện:
\(\frac{4}{sinB+sinC}=\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\)
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Đặt \(sinB=x\) , \(sinC=y\)
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y , hay \(sinB=sinC\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\) , suy ra tam giác ABC cân.
Cho A, B, C là 3 góc trong tam giác. Chứng minh rằng:
1, sin A + sin B - sin C = 4sin\(\dfrac{A}{2}\) sin \(\dfrac{B}{2}\)sin \(\dfrac{C}{2}\)
2, \(\dfrac{sinA+sinB-sinC}{cosA+cosB-cosC+1}=tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\) (ΔABC nhọn)
3, \(\dfrac{cosA+cosB+cosC+3}{sinA+sinB+sinC}=tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}\)
GIÚP MÌNH VỚI!!!
1.
\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)
\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)
\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)
Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát
Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C sin A + sin B - sin C = c o t A 2 c o t B 2
ta có
sinA + sinB – sinC = 4sin (A/2) sin(B/2) cos(C/2) (2)
suy ra điều phải chứng minh.
CMR: Với mọi tam giác ABC ta có: \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA.tanB.tanC}{3}\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\)
=> \(tanA\ge tanB\ge tanC;cosA\le cosB\le cosC\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(\left(\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\right)\left(\dfrac{cosA+cosB+cosC}{3}\right)\ge\dfrac{tanA\cdot cosA+tanB\cdot cosB+tanC\cdot cosC}{3}\)
=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA+tanB+tanC}{3}\)
mặt khác ta có: \(tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC\)
=> \(\dfrac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}\le\dfrac{tanA\cdot tanB\cdot tanC}{3}\left(đpcm\right)\)
đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Đề sai.
\(tan90^o=\dfrac{1}{0}\) (không thể chia cho không) nên đề bài sai với trường hợp tam giác vuông rồi.
Cho tam giác ABC, nếu thỏa \(sinA=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\) thì tam giác ABC vuông tại A
Đặt BC = a; CA = b; AB = c.
Theo định lý hàm sin và định lý hàm cos, ta sẽ có:
\(\frac{sinB}{sinA}=\frac{b}{a};\frac{sinC}{sinA}=\frac{c}{a};\)
\(cosB=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).
Do đó:
\(sinA=\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{sinB}{sinA}+\frac{sinC}{sinA}=cosB+cosC\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Leftrightarrow b+c=\frac{c^2b+a^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3}{2bc}\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^3-c^3=b^2c+bc^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2\left(b+c\right)\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\).
Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác ABC vuông tại A.