Bài 5: Cho f(x) là một đa thức với các hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là những số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình f(x)= 0 không có nghiệm nguyên.
help me nhé
fan cứng của #LienQuanMobile
Cho f(x) là đa thức có các hệ số nguyên. Biết f(0) và f(1) là các số lẻ. Chứng minh ràng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em có thể tham khảo bài tương tự tại đây nhé.
Cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên. Biết f(2017).f(2018)=2019. Chứng minh rằng phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên.
G/s f ( x) = 0 có nghiệm nguyên là a
Khi đó: \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)g\left(x\right)\)
Ta có: f ( 2017 ) . f(2018) = 2019
<=> ( 2017 - a ) . g(2017). ( 2018 - x ) . g ( 2018) = 2019
<=> ( 2017 - a ) . ( 2018 - a ) . g ( 2018) . g(2017).= 2019
Nhận xét thấy một điều rằng ( 2017 - a ) và (2018 - a ) là hai số nguyên liền nhau
=> ( 2017 - a ) . ( 2018 - a) \(⋮\)2 => VT \(⋮\)2 => 2019 \(⋮\)2 điều này vô lí
Vậy không tồn tại; hay f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.
cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên.Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
f(x)là một đa thức có hệ số nguyên, Chứng minh rằng nếu f(0),f(1) ,f(2), f(3) ,f(4) đều không chia hết cho 5 thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên
Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm nguyên x = a. Khi đó f(x) = (x - a).g(x)
Vậy thì f(0) = -a.g(x) ; f(1) = (1 - a).g(x) ; f(2) = (2 - a).g(x); f(3) = (3 - a).g(x) ; f(4) = (4 - a).g(x) ;
Suy ra f(0).f(1).f(2).f(3).f(4) = -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a).g5(x)
VT không chia hết cho 5 nhưng VP lại chia hết cho 5 (Vì -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5)
Vậy giả sử vô lý hay phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức f x có các hệ số nguyên. Biết f 1 và f 2 là các số lẻ. Chứng minh rằng f x không có nghiệm nguyên.
Giả sử \(f\left(x\right)\)có nghiệm nguyên là \(a\).
Khi đó \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)g\left(x\right)\)(với \(g\left(x\right)\)là đa thức với các hệ số nguyên)
\(f\left(1\right)=\left(1-a\right)g\left(1\right)\)là số lẻ nên \(1-a\)là số lẻ suy ra \(a\)chẵn.
\(f\left(2\right)=\left(2-a\right)g\left(2\right)\)là số lẻ nên \(2-a\)là số lẻ suy ra \(a\)lẻ.
Mâu thuẫn.
Do đó \(f\left(x\right)\)không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức f x có các hệ số nguyên. Biết f 1 và f 2 là các số lẻ. Chứng minh rằng f (x) không có nghiệm nguyên.
Cho f(x) là một đa thức với hệ số nguyên.Biết f(1).f(2)=2015,chứng minh phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên
Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.
Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên biết f(0) , f(1) là các số lẻ . CMR đa thức f(x) không có nghiệm nguyên .
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
Tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(x-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
Đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(x-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có:
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ;
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ
và do đó, với x là số lẻ ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có:
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c
- - - - - -
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d
có f(0) = d lẻ (do giả thiết)
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn
với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp:
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ)
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn)
=> f(x) lẻ
Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên
=> f(x) không có nghiệm nguyên
~~~~~~~~~~~~
cho đa thức với hệ số nguyên f (n ) có f (1 ) là 2 số lẻ . chứng minh rằng f ( x ) không có nghiệm nguyên.