có thiếu ĐK nào k bạn ?

áp dụng BĐT cauchy :

\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)

việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))

dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)

3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)

tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)

tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)

giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)

<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)

<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)

<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)

<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)

(đúng với mọi a,b,c >0) (2)

(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

C, d của VT đâu b

Ai giải được không ?

a)Áp dụng AM-GM có:

\(a\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{b-1+1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

\(b\sqrt{a-1}\le b.\dfrac{a-1+1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=2

b)Áp dụng bđt bunhiacopxki có:

\(\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2=\left(\sqrt{a}.\sqrt{c}+\sqrt{b}.\sqrt{d}\right)^2\)\(\le\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{d}\right)^2\right]=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{d}}\Leftrightarrow ad=bc\)

\(b,\) Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left(a+b\right)\left(c+d\right)=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{d}\right)^2\right]\\ \ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow ad=bc\)

Căn là để làm màu,khử căn bằng cách bình phương

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c};\sqrt{d};\sqrt{e}\right)\rightarrow\left(x;y;z;t;v\right)\)

Khi đó ta cần chứng minh:

\(x^2+y^2+z^2+t^2+v^2\ge x\left(y+z+t+v\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2+4t^2+4v^2-4xy-4xz-4xt-4xv\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)+\left(x^2-4xt+4t^2\right)+\left(x^2-4xv+4v^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-2z\right)^2+\left(x-2t\right)^2+\left(x-2v\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra tại x=2y=2z=2t=2v

Câu b search google bđt Min-cốp-xki thẳng tiến

Chị ơi!

\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)

<=> \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\ge ab+2\sqrt{abcd}+cd\)  (bình phương hai vế)

<=> \(ab+ad+bc+cd\ge ab+2\sqrt{abcd}+cd\)

<=>\(ad-2\sqrt{abcd}+bc\ge0\)

<=> \(\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge0\)  luôn luôn đúng với a,b,c,d>0

=>đpcm

Áp dụng BĐT bu nhi a cốp-xki cho 4 số dương ,ta có:

\(\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{c}^2\right)\left(\sqrt{b}^2+\sqrt{d}^2\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)

hay \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)

→\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)(đfcm)