1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc B C D ^ , suy ra  O B D ^ = O C D ^ = O C B ^ = O D B ^  , nên tam giác OBD cân tại O, do đó OB=OD (1).

Tứ giác OBCD nội tiếp O D C ^ = O B E ^  (cùng bù với góc OBC) (2).

Trong tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF cân tại .

Do  A B ∥ C F ⇒ A E B ^ = A F C ^ = E A B ^ , suy ra tam giác ABE cân tại B, nên B E = B A = C D   ( 3 )  

 .

3). Theo trên, ta có  B E = C D  mà  C E = C F ⇒ B C = D F .

Ta có CI là đường phân giác góc BCD, nên  I B I D = C B C D = D F B E ⇒ I B . B E = I D . D F .

Mà CO là trung trực EF và  I ∈ C O , suy ra IE=IF.

Từ hai đẳng thức trên, suy ra  I B . B E . E I = I D . D F . F I .

2). Từ  Δ O B E = Δ O D C ⇒ O E = O C .

Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE=OF.

Từ đó  O E = O C = O F , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

a. Ta thấy ngay BCDO là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{MBO}=\widehat{ODC}\) (Góc ngoài tại đỉnh đổi)

b. Xét tam giác CMN có CO là đường cao đồng thời phân giác, vậy nó là tam giác cân. Từ đó suy ra \(\widehat{CMA}=\widehat{CNA}\)

Do ABCD là hình bình hành nên \(\widehat{CNA}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\Rightarrow BM=BA=DC\left(1\right)\)

Xét trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC có \(\widehat{BCO}=\widehat{DCO}\Rightarrow BO=OD\left(2\right)\)

Theo câu a, \(\widehat{MBO}=\widehat{ODC}\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\Delta OBM=\Delta ODC\left(g-c-g\right)\) 

a) Ta thấy \(\Delta\)CEF có CO vừa là phân giác ^ECF, vừa vuông góc với EF, suy ra \(\Delta\)CEF cân tại C

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên DC = AB = BE (1)

Ta có ^BCO = ^DCO suy ra (OB = (OD hay OB = OD (2); lại có ^ODC = ^OBE (Tứ giác BCDO nội tiếp) (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra \(\Delta\)OBE = \(\Delta\)ODC (c.g.c) (đpcm).

b) Từ câu a ta có OC = OE. Tương tự OC = OF. Vậy O là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)CEF (đpcm).

c) Dễ có \(\Delta\)OIB ~ \(\Delta\)DIC suy ra IB.DC = IC.OB hay IB.BE = IC.OB. Tương tự ID.DF = IC.OD

Từ đó IB.BE = ID.DF (Vì OB = OD). Mà EI = FI (Vì I thuộc trung trực EF) nên IB.BE.EI = ID.DF.FI (đpcm).