3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.

=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2

BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)

VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)

Dấu''='' tự giải ra nhá

Bài 4 

dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm. 

đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)

làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe) 

Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) có:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)-3\)

\(=\dfrac{9}{2}-3=1,5\)

Dấu " = " khi a = b = c

Bài 5:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\ge4\sqrt{abcd}\)

Dấu " = " khi a = b = c = d = 1

7) VP phải là abc nha

\(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)

\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)

Nhân từng vế của 3 BĐT trên

\(\left[VT\right]^2\le VP^2\)

Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên khai phương ta được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

2) Giả sử \(a\le0\):

Nếu a=0 thì trái với abc>0

Nếu a<0: Do a+b+c>0 nên b+c>0. Do abc>0 nên bc<0

Suy ra a(b+c)+bc<0, mâu thuẫn với ab+bc+ca>0

Vậy a>0

Tương tự ta có b>0;c>0

Ta có : \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

Suy ra :  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

Vì : \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right);y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right);z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\forall x\)

Nên : \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0;y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0;z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

=> x = 0 ; y = 0 ; z = 0

Vậy x + y + z = 0 (đpcm)

Bạn xem lời giải  Tại đây  nhé !

a ) Đặt A = \(\frac{-a+b+c}{2a}+\frac{a-b+c}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-3\right)\)

Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có :

\(A\ge\frac{1}{2}\left[2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}-3\right]=\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

b ) \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{3}{2}\)

( áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Câu hỏi của Momozono Nanami - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2 
y^2=(x+z)^2 
z^2=(x+y)^2 
do đó ax^2+by^2+cz^2 
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2 
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2) 
+c(x^2+2xy+y^2) 
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b) 
+2(ayz+bxz+cxy) (1) 
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0 
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được 
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2) 
=> ax^2+by^2+cz^2=0

Bài 1:

a) Từ đkđb:

$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$

$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.

Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$

Do đó:

$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$

$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$

$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$

$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)

Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$

Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

CMR: $x^2+y^2+z^2=1$

-----------------------------------

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)

Vậy........

Bài 3:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

\(\Rightarrow yz+xz=-xy\)

Khi đó:

\(M=\frac{(yz)^3+(xz)^3+(xy)^3}{x^2y^2z^2}=\frac{(yz+xz)^3-3yz.xz(yz+xz)+(xy)^3}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{(-xy)^3-3yz.xz(-xy)+(xy)^3}{x^2y^2z^2}=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3\)

xin lỗi bạn 

đáp án mình là 495