Bạn An và Bình chơi một trò chơi,bạn An viết số 2019 lên bảng,bạn bình sẽ viết 2 số 2018 lên bảng,bạn An tiếp tục viết 2² số 2017 lên bảng,...Cứ số sau được viết sẽ kém số được viết ngay trước đó 1 đơn vị nhưng gấp đôi số lần viết.Thực hiện đến khi số được viết trên bảng là số 1 thì dừng lại.Chứng minh rằng khi đó tổng các số trên bảng sẽ nhỏ hơn 2²⁰²⁰.

(THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Phúc 2018 L3 – MĐ 101). Cho bảng số liệu:

SẢN LƯỢNG THỦY SẢN QUA CÁC NĂM (Đơn vị: nghìn tấn)

Nhận xét nào sau đây không đúng với bảng số liệu trên?

A. Tốc độ tăng sản lượng thủy sản nuôi trồng nhanh hơn tốc độ tăng sản lượng khai thác.

B. Sản lượng thủy sản khai thác của nước ta tăng gần 1,47 lần, giai đoạn 2005 - 2014.

C. Sản lượng thủy sản nuôi trồng giai đoạn 2005 – 2014 luôn lớn hơn sản lượng thủy sản khai thác và gấp gần 1,17 lần vào năm 2014.

D. Tổng sản lượng thủy sản nước ta tăng khá nhanh qua các năm.

An và Bình chơi 1 trò chơi: An viết số 2019 lên bảng, Bình viết  2 số 2018 lên bảng, An viết tiếp 2² số 2017 lên bảng...,  cứ số sau được viết sẽ kém hơn số được viết trước đó 1 đơn vị nhưng gấp đôi số lần viết. Thực hiện đến khi số được viết là số 1 thì dừng lại. CMR: khi đó tổng các số trên bảng nhỏ hơn 2²⁰²⁰

a, Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn \(\left(x-y\right)\left(x-z\right)=1;y\ne z\). Chứng minh :

                       \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{z-x}^2\ge4.\)

b, Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4 . Ta thực hiện cách viết thêm các số lên bảng như sau : nếu trên bảng đã có 2 số , a,b ; \(a\ne b\), ta viết thêm lên bảng số có giá trị là a + b + ab . Hỏi với cách thực hiện như vậy , trên bảng có thể suất hiện số 2016 được hay không ? Giải thích .