#)Giải :

Bài 1 :

\(N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow N< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow N< \frac{99}{100}< \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow N< \frac{3}{4}\)

       #~Will~be~Pens~#

Bài 1:

\(N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Đặt \(S=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

 Ta có: \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

            \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

             ...................

            \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow N< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

Bài 2:

a) Để A là phân số \(\Leftrightarrow n-2\ne0\)

                                \(\Leftrightarrow n\ne2\)

Vậy \(n\ne2\)thì A là phân số .

b) Để A là số nguyên 

\(\Leftrightarrow n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2+3⋮n-2\)

mà \(n-2⋮n-2\)

\(\Rightarrow3⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Tự tìm n 

Bài 3:

áp dụng tính chất \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}< 1\left(m\in N\right)\)

Ta có: \(P=\frac{10^{11}-1}{10^{12}-1}< \frac{10^{11}-1+11}{10^{12}-1+11}=\frac{10^{11}+10}{10^{12}+10}=\frac{10.\left(10^{10}+1\right)}{10.\left(10^{11}+1\right)}=\frac{10^{10}+1}{10^{11}+1}\)

\(\Rightarrow P< Q\)

Bài 2b)

A = \(\frac{n+1}{n-2}\)= \(\frac{n-2}{n-2}\)+\(\frac{3}{n-2}\)

                       = 1 + \(\frac{3}{n-2}\)

Được A có giá trị nguyên n - 2 (kí hiệu thuộc) Ư(3) = { -3;-1;1;3 }

Vậy với n (kí hiệu thuộc) {-1;1;3;5} thì A có giá trị nguyên

Bài 1 : \(\frac{-4}{8}=\frac{x}{-10}=\frac{-7}{y}=\frac{z}{-24}\)

* Ta có : \(\frac{-4}{8}=\frac{x}{-10}\)

\(\Rightarrow(-4)(-10)=x\cdot8\)

\(\Rightarrow x=\frac{(-4)\cdot(-10)}{8}=5\)

* Ta có : \(\frac{-4}{8}=\frac{-7}{y}\)

\(\Rightarrow-4\cdot y=(-7)\cdot8\)

\(\Rightarrow-4\cdot y=-56\)

\(\Rightarrow y=(-56):(-4)=14\)

* Ta có : \(\frac{-4}{8}=\frac{z}{-24}\)

\(\Rightarrow(-4)\cdot(-24)=z\cdot8\)

\(\Rightarrow96=z\cdot8\)

\(\Rightarrow z=96:8=12\)

Vậy : ...

P/S : Lần sau nhớ đăng 1 hay 2 bài thôi chứ nhiều quá làm sao hết

\(\frac{-4}{8}=\frac{x}{-10}=\frac{-7}{y}=\frac{z}{-24}\)

\(\text{ Ta có : }\frac{-4}{8}=\frac{-1}{2};\frac{x}{-10}=\frac{-x}{10};\frac{z}{-24}=\frac{-z}{24}\)

\(\text{+) }\frac{-1}{2}=\frac{-x}{10}\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right).10=2.\left(-x\right)\)

\(\Leftrightarrow-x=\frac{\left(-1\right).10}{2}\)

\(\Leftrightarrow-x=-5\)

\(\Leftrightarrow x=5\)

\(\text{+) }\frac{-1}{2}=\frac{-7}{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right).y=2.\left(-7\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{2.\left(-7\right)}{-1}\)

\(\Leftrightarrow y=14\)

\(\text{+) }\frac{-1}{2}=\frac{-z}{24}\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right).24=2.\left(-z\right)\)

\(\Leftrightarrow-z=\frac{\left(-1\right).24}{2}\)

\(\Leftrightarrow-z=-12\)

\(\Leftrightarrow z=12\)

\(\text{Bài 3 :}\)

\(\text{a) Để A là phân số}\Leftrightarrow n-2\ne0\)

\(\Rightarrow\text{ A là phân số }\Leftrightarrow n\ne2\)

\(\Rightarrow A\in\left\{.....-3;-2;-1;0;1;3;.....\right\}\)

\(\text{b) Phân số }A=\frac{3}{n-2}\text{ là số nguyên }\Leftrightarrow3⋮n-2\text{ }\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow n-2\in\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{3;1;5;-1\right\}\)

1) a) để A là số nguyên thì \(n\ne1\)

b) để  \(A=\frac{5}{n-1}\)là số nguyên thì n-1 là ước nguyên của 5

\(n-1=1\Rightarrow n=2\)

\(n-1=5\Rightarrow n=6\)

\(n-1=-1\Rightarrow n=0\)

\(n-1=-5\Rightarrow n=-4\)

kl : n\(\in\){ 2; 6; 0; -4 }

2) Gọi d là ước chung lớn nhất của n và n+1 

\(\Rightarrow n⋮d;n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n+1-n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì ước chung lớn nhất của n và n+1 là 1 nên n/n+1 là phân số tối giản

3)     Ta có công thức \(\frac{a}{b.c}=\frac{a}{c-b}.\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)

Dựa vào công thức ta có

\(\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

..............................

\(\frac{1}{49.50}=\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(\Rightarrow\)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+......+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(1-\frac{1}{50}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{49}{50}< 1\Rightarrow dpcm\)

4)     \(S=\frac{2^{2009}-1}{1-2^{2009}}\)

Ai thấy đúng thì ủng hộ mink nha !!!

Bài 1 :
a) =) \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)= \(1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}\)
b) =) \(\frac{5}{2}.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{99.101}\right)\)
=) \(\frac{5}{2}.\frac{100}{101}=\frac{250}{101}\)( theo phần a)
Bài 2 :
-Gọi d là UCLN \(\left(2n+1;3n+2\right)\)( d \(\in N\)* )
(=) \(2n+1⋮d\left(=\right)3.\left(2n+1\right)⋮d\)
(=) \(6n+3⋮d\)
và \(3n+2⋮d\left(=\right)2.\left(3n+2\right)⋮d\)
(=) \(6n+4⋮d\)
(=) \(\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)
(=) \(6n+4-6n-3⋮d\)
(=) \(1⋮d\left(=\right)d\in UC\left(1\right)\)(=) d = { 1;-1}
Vì d là UCLN\(\left(2n+1;3n+2\right)\)(=) \(d=1\)(=) \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản ( đpcm )
Bài 3 :
-Để A \(\in Z\)(=) \(n+2⋮n-5\)
Vì \(n-5⋮n-5\)
(=) \(\left(n+2\right)-\left(n-5\right)⋮n-5\)
(=) \(n+2-n+5⋮n-5\)
(=) \(7⋮n-5\)(=) \(n-5\in UC\left(7\right)\)= { 1;-1;7;-7}
(=) n = { 6;4;12;-2}
Vậy n = {6;4;12;-2} thì A \(\in Z\)
Bài 4:
A = \(10101.\left(\frac{5}{111111}+\frac{5}{222222}-\frac{4}{3.7.11.13.37}\right)\)
= \(10101.\left(\frac{5}{111111}+\frac{5}{222222}-\frac{4}{111111}\right)\)
= \(10101.\left(\frac{1}{111111}+\frac{5}{222222}\right)\)= \(10101.\left(\frac{2}{222222}+\frac{5}{222222}\right)\)
= \(10101.\frac{7}{222222}\)( không cần rút gọn \(\frac{7}{222222}\))
= \(\frac{7}{22}\)

Để A là phân số thì ta có điều kiện \(n-1\ne0\Rightarrow n\ne1\) . Vậy điều kiện của n là \(n\ne1\)

Để A là số nguyên => \(n-1\inƯ(5)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

đúng là ko có bài nào dễ trong ngày hôm nay

Bạn ghi nhỏ lại nhé. Hơn nũa bạn nên tách riêng từng câu hỏi, làm vầy nhiều lắm

a) Ta co :1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4.5+1/5.6+1/6.7+...+1/99.100

Dat A=1/4.5+1/5.6+...+1/99.100.   B=1/5^2+1/6^2+...+1/100^2

A=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+...+1/99-1/100

=1/4-1/100=6/25

Ma1/6<6/25<1/4.Ta lại cóA<6/25    Vậy:1/6<1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4