do m ;m+k ; m+2k là số nguyên tố >3

=> m;m+k;m+2k lẻ

=> 2m+k chẵn =>⋮⋮ 2

mặt khác m là số nguyên tố >3 

=> m có dạng 3p+1 và 3p+2(p∈ N*)

xét m=3p+1

ta lại có k có dạng 3a ;3a+1;3a+2(a∈ N*)

với k=3a+1 ta có 3p+1+2(3a+1)=3(p+1+3a) loại vì m+2k là hợp số 

với k=3a+2 => m+k= 3(p+a+1) loại

=> k=3a

tương tự với 3p+2

=> k=3a

=> k⋮3

mà (3;2)=1

=> k⋮6

Do m , m + k  , m+2k là số nguyên tố > 3 

=> m , m+k , m+2k lẻ

=> 2m+k chẵn  => k chia hết cho 2

Mặt khác m là số nguyên tố > 3 

=> m có dạng 3p+1 và 3p +2 ( p thuộc N* )

xét m = 3p + 1

Ta lại có k có dạng 3a ; 3a+1 ; 3a+2 ( a thuộc N* )

Với k = 3a+1  ta có 3p +1+2 ( 3a +1) = 3(p+1+3a)loại vì m+2k là hợp số 

Với k = 3a+ 2 => m+k = 3(p+a+1) loại 

=> k=3a

Tương tự vs 3p +2 

=> k=3a

=> k chia hết cho 3

Mà (3;2) = 1

Nên => k chia hết cho 6

CMR: nếu 3 số tự nhiên m, m+k ,m+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6

Do m ; m + k ; m + 2k là các số nguyên tố > 3 nên m ; m + k; m+ 2k lẻ => m + m + k = 2m + k chẵn => k chẵn => k chia hết cho 2

m là số nguyên tố > 3 => m = 3p + 1 hoặc m = 3p + 2

+ Nêu m = 3p + 1: 

xét k = 3a + 2 => m + k = 3p + 1 + 3a + 2 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + 2k = 3p + 1 + 2.(3a+1) = 3p + 6a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a hay k chia hết cho 3

+ Nếu m = 3p + 2 

xét k = 3a + 2 => m + 2k = 3p + 2 + 6a + 4 = 3p + 6a + 6 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + k = 3p + 2 + 3a + 1 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a

Vậy k = 3a hay k chia hết cho 3 mà k chia hết cho 2 nên k chia hết cho 6 (đpcm)

Do m ; m + k ; m + 2k là các số nguyên tố > 3 nên m ; m + k; m+ 2k lẻ => m + m + k = 2m + k chẵn => k chẵn

=> k chia hết cho 2

m là số nguyên tố > 3 => m = 3p + 1 hoặc m = 3p + 2

+ Nêu m = 3p + 1:

xét k = 3a + 2 => m + k = 3p + 1 + 3a + 2 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + 2k = 3p + 1 + 2.(3a+1) = 3p + 6a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a hay k chia hết cho 3

+ Nếu m = 3p + 2

xét k = 3a + 2 => m + 2k = 3p + 2 + 6a + 4 = 3p + 6a + 6 là hợp số => loại

xét k = 3a + 1 => m + k = 3p + 2 + 3a + 1 = 3p + 3a + 3 là hợp số => loại

=> k = 3a

Vậy k = 3a hay k chia hết cho 3 mà k chia hết cho 2 nên k chia hết cho 6 (đpcm) 

@Phạm Việt Đức

Bạn copy của "Trần Thị Loan" hả bạn...

1

gọi số cần tìm là p.dễ thấy p lẻ

=>p=a+2 và p=b-2

=>a=p-2 và b=p+2

vì p-2,p,p+2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

với p-2=3=>p=5=7-2(chọn)

p=3=>p=1+2(loại)

p+2=3=>p=1(loại)

vậy p=5

2

vì p1, p2, p3 là 3 số nguyên tố (SNT) > 3 
theo giả thiết: 
p3 = p2 + d = p1 + 2d (*) 
=> d = p3 - p2 là số chẵn ( vì p3, p2 lẻ) 
đặt d = 2m, xét các trường hợp: 
* m = 3k => d chia hết cho 6 
* m = 3k + 1: khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 2 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 4 
do p1 là SNT > 3 nên p1 chia 3 dư 1 hoặc 2 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p2 = p1 + 6k + 2 chia hết cho 3 => p2 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p1 chia 3 dư 2 => p3 = p1 + 12k + 4 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (---nt--) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 1 
* m = 3k + 2, khi đó 3 số là: 
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 4 
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 8 
nếu p1 chia 3 dư 1 => p3 = p1 + 12k + 8 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (không thỏa gt) 
nếu p 1 chia 3 dư 2 => p2 = p1 + 6k + 4 chia hết cho 3 => p2 là hợp số ( không thỏa gt) 
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 2 
vậy để p1, p 2, p 3 đồng thời là 3 SNT thì m = 3k => d = 2m = 6k chia hết cho 6.

3

ta có p,p+1,p+2 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.

mà p,p+2 là SNT >3 nên p,p+2 ko chia hết cho 3 và là số lẻ

=>p+1 chia hết cho 3 và p+1 chẵn=>p+1 chia hết cho 6

4

vì p là SNT >3=>p=3k+1 hoặc p=3k+2

với p=3k+1=>p+8=3k+9 chia hết cho 3

với p=3k+2=>p+4=3k+6 ko phải là SNT

vậy p+8 là hợp số

5

vì 8p-1 là SNt nên p>3=>8p ko chia hết cho 3

vì 8p,8p+1,8p-1 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.mà 8p,8p-1 là SNT >3=>8p+1 chia hết cho 3 và 8p+1>3

=>8p+1 là hợp số

6.

Ta có: Xét:

+n=0=>n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)

+n=1

=>n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)

+n=2

=>n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)

+n=3

=>n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)

+n=4

n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)

Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3

+n=4k+1

⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)

+n=4k+2

=>n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)

+n=4k+3

=>n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)

⇔n=4

4.vì p là số nguyên tố >3

nên p có dạng 3k+1;3k+2

xét p=3k+1 ta có :p+4=(3k+1)+4=3k+5(thỏa mãn)

xét p=3k+2 ta có: p+4=(3k+2)+4=3k+6 chia hết cho 3(trái với đề bài)

vậy p+8=(3k+1)+8=3k+9 chia hết cho 3

Vậy p+8 là hợp số

1. Gọi số M là số lẻ, Q là số chẵn, nguyên tố cần tìm là P ( P ≠ 2 vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, nhỏ nhất nên không thể là tổng) 

- P = A + 2 ( M + Q = M )

- P = B - 2 ( M - Q = M )

- A = P - 2; B = P +  2 

P + 2; P; P - 2 ⇒ 3 số lẻ liên tiếp.

- P ≠ 1 vì P là số nguyên tố.

- P ≠ 2 vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, nhỏ nhất nên không thể là tổng.

- P ≠ 3 vì 3 = A + 2; 3 = 1 + 2 ( 1 không phải là số nguyên tố )

- P = 5 vì A + 2 = 5 = B - 2

               3 + 2 = 5 = 7 - 2

⇒ P = 5