a/ \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}\)

=> \(A=\frac{9}{10}\)

b/ \(A=\frac{n+2}{n-5}=\frac{n-5+7}{n-5}=\frac{n-5}{n-5}+\frac{7}{n-5}\)

=> \(A=1+\frac{7}{n-5}\)

Để A nguyên => 7 chia hết cho n-5 => n-5=(-7; -1; 1; 7)

=> n=(-2; 4, 6, 8)

\(A=\frac{3n-5}{n+4}=\frac{3\left(n+4\right)-17}{n+4}=3-\frac{17}{n+4}\)

Để A có giá trị nguyên => \(\frac{17}{n+4}\)có giá trị nguyên

=> \(17⋮n+4\)

=> \(n+4\inƯ\left(17\right)=\left\{-17;-1;1;17\right\}\)

\(A=\frac{3n-5}{n+4}=\frac{3\left(n+4\right)-17}{n+4}=\frac{-17}{n+4}\)

\(\Rightarrow n+4\inƯ\left(-17\right)=\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

Ta lập bảng

Hai bạn Misaki và Ngọc Ánh lập luận sai sai ở đoạn 3n+2 nhé

Bài này mình làm để bạn tham khảo , sai xót bỏ qua nhé 
Ta có \(M=\frac{6n-1}{3n+2}=\frac{6n+4-5}{3n+2}=\frac{2.\left(3n+2\right)-5}{3n+2}=2-\frac{5}{3n+2}\)

Để M có giá trị nhỏ nhất thì \(\frac{5}{3n+2}\)có giá trị lớn nhất

Khi đó 3n +2 có giá trị nhỏ  nhất mà \(n\in Z\)nên 3n + 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi \(3n+2=2\)

\(\Rightarrow n=0\)Nên \(M=\frac{6.0-1}{3.0+2}=-\frac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = -1/2 khi và chỉ khi n = 0 

Ta có: \(A=\frac{6n-1}{3n+2}=\frac{6n+4-5}{3n+2}=2-\frac{5}{3n-2}.\)

Để A có giá trị nhỏ nhất ( n thuộc N ) thì \(\frac{5}{3n+2}\)đạt giá trị lớn nhất.

=> 3n + 2 đạt giá trị tự nhiên nhỏ nhất

=> 3n đạt giá trị tự nhiên nhỏ nhất

=> n là số tự nhiên nhỏ nhất

=> n = 0

học tốt ~~~

Ta có \(M=\frac{6n-1}{3n+2}=\frac{6n+4-5}{3n+2}=2-\frac{5}{3n+2}\)

Để A đạt giá trị nhỏ nhất (n\(\in N\)) thì \(\frac{5}{3n+2}\)đạt giá trị lớn nhất

=> 3n+2 đạt giá trị tự nhiện nhỏ nhất

=>3n đạt giá trị nhỏ nhất

Mà n\(\in\)N

=> n=0

Vậy n=0 thì\(\frac{6n-1}{3n+2}\)đạt giá trị nhỏ nhất

~Hok tốt~

d) ( n + 7 )² - ( n - 5 )²

= n² + 14n + 49 - n² + 10n - 25

= 24n + 24

= 24 ( n + 1 ) chia hết cho 24 ( đpcm )

e) 

( 7n + 5 )² - 25

= ( 7n + 5 )² - 5²

= ( 7n + 5 - 5 ) ( 7n + 5 + 5 )

= 7n ( 7n + 10 ) chia hết cho 7 ( đpcm )

f) ( n + 6 )² - ( n - 6 )²

= ( n + 6 + n - 6 ) ( n + 6 - n + 6 )

= 2n . 12

= 24n chia hết cho 24 ( đpcm )

a)\(VT=\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+...+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=\frac{1}{3}\left[\frac{3}{2\cdot5}+\frac{3}{5\cdot8}+...+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right]\)

\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right]=\frac{1}{3}\left[\frac{3n+2}{2\left(3n+2\right)}-\frac{2}{2\left(3n+2\right)}\right]\)

\(=\frac{1}{3}\cdot\frac{3n}{6n+4}=\frac{n}{6n+4}=VP\)

b) Ta có: \(\frac{5}{3.7}+\frac{5}{7.11}+...+\frac{5}{\left(4n-1\right)\left(4n+3\right)}\)

\(=\frac{5}{4}\left(\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+...+\frac{4}{\left(4n-1\right)\left(4n+3\right)}\right)\)

\(=\frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right)\)

\(=\frac{5}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)\)

\(=\frac{5}{4}\left(\frac{4n+3}{12n+9}-\frac{3}{12n+9}\right)\)

\(=\frac{5}{4}.\frac{4n}{12n+9}\)

\(=\frac{5n}{12n+9}\)

( sai đề )

\(-\frac{4}{5}< -\frac{9}{x}< -\frac{7}{7}\)
=> \(-\frac{252}{315}< -\frac{252}{28x}< -\frac{252}{252}\)
=> 315<28x<252
=.11,25<x<9=> không có x thoản mãn
mình thấy đề sai hay sao ak sao -0,8<-1 được

\(A=\frac{n+4}{n-1}=\frac{n-1+5}{n-1}=1+\frac{5}{n-1}.\)

\(\Rightarrow A\in Z\Leftrightarrow\frac{5}{n-1}\in Z\Rightarrow n-1\inƯ_5\)

Mà \(Ư_5=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)\(\Rightarrow...\)

\(B=\frac{2n+4}{n-1}=\frac{2n-2+6}{n-1}=2+\frac{6}{n-1}\)

\(\Rightarrow B\in Z\Leftrightarrow\frac{6}{n-1}\in Z\Rightarrow n-1\inƯ_6\)

Mà \(Ư_6=\left\{\pm1;\pm2;\pm3\right\}\Rightarrow...\)

\(M=\frac{3n-5}{n+4}\) nguyên

\(\Leftrightarrow3n-5⋮n+4\)

\(\Rightarrow\left(3n+12\right)-12-5⋮n+4\)

\(\Rightarrow3\left(n+4\right)-17⋮n+4\)

      \(3\left(n+4\right)⋮n+4\)

\(\Rightarrow-17⋮n+4\)

\(\Rightarrow n+4\inƯ\left(17\right)\)

      \(n\in Z\Rightarrow n+4\in Z\)

\(\Rightarrow n+4\in\left\{-1;1;-17;17\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-5;-3;-21;13\right\}\)

Ta có M = \(\frac{3n-5}{n+4}\)là phân số   <=>  n + 4 \(\ne\)0

<=>  n \(\ne\)-4 

M là một số nguyên <=>  \(3n-5⋮n+4\)<=> \(3\left(n+4\right)-17\)\(⋮n+4\)

<=> \(17⋮n+4\)<=>  \(n+4\in\left\{-17;-1;1;17\right\}\)

<=>  \(n\in\left\{-21;-5;-3;13\right\}\)