cho các số thực x,y thỏa mãn 2xy-4=x+y. tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy+\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) . Dấu "=" xảy ra khi a = b
Được : \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=2xy\\x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min \(P=4\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) ≤ 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Cho x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn: \(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2016+ xy
ĐK: x khác 0
Từ\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}+x^2+xy+\frac{y^2}{4}=6+xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x+\frac{y}{2}\right)^2=6+xy\)
Do VT > 0\(\Rightarrow6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 + 6 = 2022
tth : Viết nhầm :V
Đoạn cuối \(6+xy\ge0\Rightarrow xy\ge-6\)
Có A = 2016 + xy > 2016 - 6 = 2010 !!!
Được rồi chứ gì -.-
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=0\\x+\frac{y}{2}=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\x=-\frac{y}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)OK ???
cho hai số thực x,y thỏa mãn x+y≤4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\frac{2}{X^2+Y^2}\)\(+\frac{35}{XY}\)\(+2XY\)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}\le1\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
Giúp mn vs :<
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}< =1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
Cho các số thực x, y dương thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) \(\le\) 1; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{x^2+xy}\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)
\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{x+y}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
cho các số thực dương x, y thỏa mãn x+xy+y =8 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
x+xy+y+1=9
(x+1)(y+1)=9
áp dụng bđt ab<=(a+b)^2/4
->9<=(x+y+2)^2/4 -> x+y >=4
....
Cho hai số thực x, y thỏa mãn \(xy\ge2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+xy\)
\(T=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+xy=\frac{y^2+4+4+4x^2}{\left(1+x^2\right)\left(4+y^2\right)}+xy=\frac{y^2+4x^4+4}{\left(1+x^2\right)\left(4+y^2\right)}+xy\)
Áp dụng BĐT Cosi:
\(y^2+4x^2\ge4xy\ge8\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+4\ge4y\end{cases}\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\ge8xy\ge16}\)
=> \(\frac{y^2+4x^2+8}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)}\ge\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
=> \(T\ge\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)
\(Min_T=\frac{5}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\xy=2\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)