a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3

MInA=3<=>x=y=z=1

b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)

Bài làm:

Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\)

Thay vào ta tính được:

\(M\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_M=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đánh máy xong hết lại bấm hủy-.-

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)

Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)

Từ (1) và (2) => \(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

Vậy MinA = 18 

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=|x-1|=1-x.\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=|y-1|=1-y.\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=|z-1|=1-z.\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z.\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}.\)

1. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz và x,y,z>1

Tìm GTNN của P= x-1/y² +y-1/x² + x-1/x²

               ^Giải

Từ gt⇒1xy+1yz+1zx=1⇒1xy+1yz+1zx=1

Theo AM-GM ta có:

P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥√3∑1xy+∑1xy−2=√3−1P=∑(x−1)+(y−1)y2−∑1y+∑1y2=∑(x−1)(1x2+1y2)−∑1y+∑1y2≥∑(x−1).2xy−∑1y+∑1y2=∑1y+∑1y2−2≥3∑1xy+∑1xy−2=3−1

Dấu = xảy ra⇔x=y=z=1√3

P/S: ĐỀ BÀI TƯƠNG TỰ NÊN BẠN TỰ LÀM NHA !! CHÚC HOK TỐT!

Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ngắn hơn nhiều 

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge\frac{\left(x-1+y-1+z-1\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}..\)