Ta có: `hat(ABD) = hat(ACD)`.

Lấy `M in AC` sao cho `hat(ADB) = hat(MDC)`.

`=> triangle ABD ~ triangle MCD`.

`=> (AB)/(MC) = (BD)/(CD) => AB . CD = BD . MC`.

Xét `2 triangle ADM, BDC`, ta có:

`hat(ADM) = hat(BDC)`.

`(DA)/(DM) = (BD)/(DC) ( triangle ABD ~ triangle MCD )`.

`=> triangle ADM ~ triangle BCD => (AD)/(AM) = (BD)/(CB) => AD . BC = BD . AM`

`=> AD . BC + AD . BC = BD . AM + BD . MC`

`=> AD . BC + AD . BC = BD(AM+MC)`

`=> AD.BC+AD.BC = BD . AC => dpcm`.

 

gợi ý:

lúc đầu nó là 1 bdt vì nó nội tiếp nên dấu = xảy ra!

bđt ptoleme nhé bạn. 
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB

Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Giả sử góc ACD > góc ACB. Lấy E trên BD sao cho góc DCE = góc ACB.

Ta có : 2 tam giác ABC và DEC đồng dạng (DCE = ACB; BAC = BDC (chắn cung BC)) => \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}\) => AB.CD = AC.DE (1)

Tương tự, ta có 2 tam giác ACD và BCE đồng dạng => AD.BC = BE.AC (2)

Từ (1) và (2) => AB.CD + AD.BC = AC.DE + BE.AC hay AB.CD + BC.AD = AC.BD

 Đây là đẳng thức ptôlêmê. 
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1) 
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC. 
=> AB.CD=AM.BD (2) 
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra AC.BD = AB . CD + AD . BC

Vậy AC.BD = AB.CD + AD . BC ( đpcm )

Định lí Ptoleme

Sao ko ai làm đ bài này trời ? hic.

 

vì tứ giác ABCD nội tiếp,theo định lý Ptoleme ta có:

AC.BD=AB.CD+AD.BC (ĐPCM)

I"M class 6

a) Xét \(\Delta IAD\)và \(\Delta IBC\)có:

\(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\)(2góc đối đỉnh)

\(\widehat{ADI}=\widehat{BCI}\)(cùng nhìn cung AB)

\(\Rightarrow\Delta IAD\)đồng dạng với \(\Delta IBC\)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\)(ĐPCM)

b)Xét \(\Delta JAC\)và \(\Delta JBD\)có:

\(\widehat{J}\)là góc chung

\(\widehat{JCA}=\widehat{JDB}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta JAC\)đồng dạng với\(\Delta JBD\)

\(\Rightarrow\frac{JA}{JB}=\frac{JC}{JD}\Rightarrow JA.JD=JB.JC\)(ĐPCM)

Phần a tui đánh máy bị lỗi nhé, chỗ chữ bị nhỏ lên là góc á, còn đoạn gần cuối là \(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\)nhé