a) Gọi a+4b là c, 10a+b là d.Ta có:

a+4b= c

10a+b = d

=> 3a+ 12b =3c

10a + b = d

=> 3c+d = 10a+3a+12b+b = 13a + 13b =13(a+b) => 3c + d chia hết cho 13

Mà:  3c+d chia hết cho 13

        3c chia hết cho 13

=> d chia hết cho 13 hay 10a+ b chia hết cho 13

a; Đặt A= \(a^{2017}+a^{2015}+1\)

\(=a^4\left(a^{2013}-1\right)+a^2\left(a^{2013}-1\right)+a^4+a^2+1\)=\(a^4\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+a^2\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

= \(\left(a^2+a+1\right)F\left(a\right)\) (trong đó F(a) là đa thức chứa a)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(a^2+a+1\)

do \(a^2+a+1\) > 1 (dễ cm đc)

mà A là số nguyên tố

\(\Rightarrow A=a^2+a+1\)

hay \(a^{2017}+a^{2015}+1=a^2+a+1\)

\(\Leftrightarrow a\left(a\left(a^{2015}-1\right)+\left(a^{2014}-1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right).G\left(a\right)=0\) ( bạn đặt nhân tử chung ra)

do a dương => a>0 => a-1=0=> a=1(t/m)

Kết Luận:...

chỗ nào bạn chưa hiểu cứ nói cho mình nha :3

Lời giải:

Với \(n>3\Rightarrow 10a+b=2^n\vdots 2\). Mà \(10a\vdots 2\) nên suy ra \(b\vdots 2\)

Do đó \(ab\vdots 2(1)\)

----------------------------

Vì $b$ là số nguyên dương chẵn và thỏa mãn \(b< 10\Rightarrow b\in\left\{2;4;6;8\right\}\)

TH1: Nếu \(b=2\Rightarrow 2^n=10a+b=10a+2\)

Một số chính phương chia 5 chỉ có thể có dư là \(0,1,4\) mà $10a+2$ chia $5$ dư $2$ nên $n$ không thể là số chẵn.

Do đó $n$ lẻ

\(\Rightarrow 10a+2=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)

\(\Rightarrow ab\vdots 3\)

TH2: \(b=4\Rightarrow 2^n=10a+4\)

\(\Rightarrow 2^n-4=10a\vdots 5\) (*)

Nếu \(n\) lẻ :

\(2^n-4=2^{2k+1}-4=4^k.2-4\equiv (-1)^k.2-4\equiv -2,-6\not\equiv 0\pmod 5\)

(trái với (*))

Do đó $n$ chẵn.

\(\Rightarrow 10a+4=2^n\equiv (-1)^n\equiv 1\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv -3\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)

Do đó \(ab\vdots 3\)

TH3: \(b=6\vdots 3\Rightarrow ab\vdots 3\)

TH4: \(b=8\Rightarrow 10a+8=2^n\)

Vì \(10a+8=5(2a+1)+3\) chia 5 dư 3 nên $10a+8$ không thể là số chính phương

Do đó \(n\) lẻ \(\Rightarrow 10a+8=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\pmod 3\)

\(\Rightarrow 10a\equiv -9\equiv 0\pmod 3\)

\(\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow ab\vdots 3\)

Vậy trong mọi TH thì \(ab\vdots 3(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(ab\vdots 6\)

Ta có đpcm.

Để chứng minh rằng tích ab chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 2 và một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 2, khi đó a có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. Ta sẽ xét từng trường hợp:

Nếu a = 2, thì n = 10a + b = 20 + b. Vì n > 3, nên b > 0. Khi đó, tích ab = 2b chia hết cho 2.

Nếu a = 4, thì n = 10a + b = 40 + b. Vì n > 3, nên b > -37. Khi đó, tích ab = 4b chia hết cho 2.

Nếu a = 6, thì n = 10a + b = 60 + b. Vì n > 3, nên b > -57. Khi đó, tích ab = 6b chia hết cho 2.

Nếu a = 8, thì n = 10a + b = 80 + b. Vì n > 3, nên b > -77. Khi đó, tích ab = 8b chia hết cho 2.

Ta đã chứng minh được rằng nếu a chia hết cho 2, thì tích ab chia hết cho 2.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3. Ta có thể sử dụng phương pháp tương tự như trên để chứng minh điều này.

Vì tích ab chia hết cho cả 2 và 3, nên tích ab chia hết cho 6.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu n = 10a + b (a, b ∈ N, 0 < a < 10), thì tích ab chia hết cho 6.

Rảnh à?