\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2018a^2}{2018c^2}=\frac{2019b^2}{2019d^2}=\frac{2018a^2+2019b^2}{2018c^2+2019d^2}=\frac{2018a^2-2019b^2}{2018c^2-2019d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2018a^2+2019b^2}{2018a^2-2019b^2}=\frac{2018c^2+2019d^2}{2018c^2-2019d^2}\left(dpcm\right)\)

\(\hept{\begin{cases}b^2=ac\\c^2=bd\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}}\)

=>\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{2018b^3}{2018c^3}=\frac{2019c^3}{2019d^3}=\frac{a^3-2018b^3-2019c^3}{b^3-2018c^3-2019d^3}\left(1\right)\)

Mà \(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

2.

\(\frac{a}{2b}=\frac{b}{2c}=\frac{c}{2d}=\frac{d}{2a}=\frac{a+b+c+d}{2a+2b+2c+2d}=\frac{a+b+c+d}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a=\frac{2b}{2}=b;b=\frac{2c}{2}=c;c=\frac{2d}{2}=d;d=\frac{2a}{2}=a\)

\(\Rightarrow a=b=c=d\)

Ta có : \(A=\frac{2011a-2010b}{c+d}+\frac{2011b-2010c}{a+d}+\frac{2011c-2010d}{a+b}+\frac{2011d-2010a}{b+c}\)

\(=\frac{2011a-2010a}{2a}+\frac{2011a-2010a}{2a}+\frac{2011a-2010a}{2a}+\frac{2011a-2010a}{2a}\)

\(=\frac{4a}{2a}=2\)

3.

\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)< 0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x-3>0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x-1>0\\x-3< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x>3\end{cases}}\)( loại ) hoặc \(\hept{\begin{cases}x>1\\x< 3\end{cases}}\)

Vậy \(1< x< 3\)

Đặt \(A=\frac{1}{4\times9}+\frac{1}{9\times14}+\frac{1}{14\times19}+...+\frac{1}{44\times49}\)

Ta có : \(5\times A=\frac{5}{4\times9}+\frac{5}{9\times14}+\frac{5}{14\times19}+...+\frac{5}{44\times49}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{14}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{49}=\frac{1}{4}-\frac{1}{49}\)

\(=\frac{49}{196}-\frac{4}{196}=\frac{45}{196}\)

\(\Rightarrow A=\frac{9}{196}\)

Đặt \(B=1-3-5-7-...-49=1-\left(3+5+...+49\right)\)

Đặt \(C=3+5+...+49\) ( khoảng cách là 2 )

Số số hạng là : \(\left(49-3\right):2+1=24\)

Tổng C là : \(\left(49+3\right)\times24:2=624\)

\(\Rightarrow B=1-264=-623\)

Vậy \(A=\frac{9}{196}\times\frac{-623}{89}=\frac{-9}{28}\)

Dòng cuối cùng mình không chắc là đúng nhé !

\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)< 0\)

=> x-1 và x-3 trái dấu

mà x-1>x-3 nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}x-1>0\\x-3< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x< 3\end{cases}\Rightarrow}-1< x< 3}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

vậy x \(\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\) (1)

Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2018a}{2018b}=\frac{2019c}{2019d}.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2018a}{2018b}=\frac{2019c}{2019d}=\frac{2018a+2019c}{2018b+2019d}\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{2018a+2019c}{2018b+2019d}.\)

\(\Rightarrow\left(2018a+2019c\right).\left(b+d\right)=\left(a+c\right).\left(2018b+2019d\right)\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!