\(a,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1⋮d;n+2⋮d\\ \Rightarrow n+2-n-1⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(n+1;n+2\right)=1\) hay n+1 và n+2 ntcn

\(b,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(3n+10;3n+9\right)\)

\(\Rightarrow3n+10⋮d;3n+9⋮d\\ \Rightarrow3n+10-3n-9⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy 3n+10 và 3n+9 ntcn

Gọi d là ước chung lớn nhất của 2 số. Nhiệm vụ của ta là chứng minh d=1.

a) 2n+3, n+2 \(⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

b) n+1, 3n+4

\(\Rightarrow\left(3n+4\right)-3\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

c) 2n+3, 3n+4

\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)-2\left(3n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

𝓪, 𝓖𝓸̣𝓲 𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(2n+3,n+2\right)=d\)

\(\Rightarrow2n+3⋮d\)  

\(\Rightarrow n+2⋮d\Rightarrow2.\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow2n+4⋮d\)

\(\Rightarrow2n+4-2n+3⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(2n+3,n +2\right)=1\)

𝓥𝓪̣̂𝔂 \(2n+3,n+2\) 𝓵𝓪̀ 𝓱𝓪𝓲 𝓼𝓸̂́ 𝓷𝓰𝓾𝔂𝓮̂𝓷 𝓽𝓸̂́ 𝓬𝓾̀𝓷𝓰 𝓷𝓱𝓪𝓾

 

𝓫, 𝓖𝓸̣𝓲 𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(n+1,3n+4\right)=d\)

\(\Rightarrow3n+4⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\Rightarrow3\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow3n+3⋮d\)

\(\Rightarrow3n+4-\left(3n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(n+1,3n+4\right)=1\)

𝓥𝓪̣̂𝔂 \(n+1,3n+4\) 𝓵𝓪̀ 𝓱𝓪𝓲 𝓼𝓸̂́ 𝓷𝓰𝓾𝔂𝓮̂𝓷 𝓽𝓸̂́ 𝓬𝓾̀𝓷𝓰 𝓷𝓱𝓪𝓾

𝓑𝓪̣𝓷 𝓸̛𝓲, 𝓬𝓱𝓸 𝓶𝓲̀𝓷𝓱 𝓼𝓾̛̉𝓪 𝓵𝓪̣𝓲 𝓸̛̉ 𝓬𝓪̂𝓾 𝓪 𝓷𝓱𝓪, 𝓬𝓱𝓸̂̃ 2𝓷+4-(2𝓷+3) 𝓹𝓱𝓪̉𝓲 𝓽𝓱𝓮̂𝓶 𝓷𝓰𝓸𝓪̣̆𝓬 𝓸̛̉ 2𝓷+3 𝓷𝓱𝓪!

 

a) Gọi d là ƯCLN (n+1,3n+4), d thuộc N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(n+1\right)⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1,3n+4\right)=1\)

Vậy n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi d là ƯCLN(2n+3,4n+8), d thuộc N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow\)d bằng 1 hoặc d bằng 2

Mà 2n+3 không chia hết cho 2 \(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3,4n+8\right)=1\)

Vậy 2n+3 và 4n+8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

a, Gọi d = ƯCLN(n+1,2n+3) (d thuộc N*) Ta có: ⎧ ⎨ ⎩ n + 1 ⋮ d 2 n + 3 ⋮ d ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ 2 n + 2 ⋮ d 2 n + 3 ⋮ d {n+1⋮d2n+3⋮d⇒{2n+2⋮d2n+3⋮d ⇒ 2 n + 3 − ( 2 n + 2 ) ⋮ d ⇒2n+3−(2n+2)⋮d ⇒ 1 ⋮ d ⇒1⋮d => d = 1 => đpcm b, Gọi d = ƯCLN(2n+3,4n+8) (d thuộc N*) ta có: ⎧ ⎨ ⎩ 2 n + 3 ⋮ d 4 n + 8 ⋮ d ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ 4 n + 6 ⋮ d 4 n + 8 ⋮ d {2n+3⋮d4n+8⋮d⇒{4n+6⋮d4n+8⋮d ⇒ 4 n + 8 − ( 4 n + 6 ) ⋮ d ⇒4n+8−(4n+6)⋮d ⇒ 2 ⋮ d ⇒2⋮d ⇒ d ∈ { 1 ; 2 } ⇒d∈{1;2} Mà 2n + 3 là số lẻ => d = 1 => đpcm c, Gọi d = ƯCLN(3n+2,5n+3) (d thuộc N*) Ta có: ⎧ ⎨ ⎩ 3 n + 2 ⋮ d 5 n + 3 ⋮ d ⇒ ⎧ ⎨ ⎩ 15 n + 10 ⋮ d 15 n + 9 ⋮ d {3n+2⋮d5n+3⋮d⇒{15n+10⋮d15n+9⋮d ⇒ 15 n + 10 − ( 15 n + 9 ) ⋮ d ⇒15n+10−(15n+9)⋮d ⇒ 1 ⋮ d ⇒1⋮d => d = 1 => đpcm Đúng Bình luận Báo cáo sai phạm Thu gọn

 gải:

ta gọi x là ƯCLN của 2n+1 và 3n+1

suy ra: (2n+1) chia hết cho x

           (3n+1) chia hết cho x

suy ra: [3(2n+1)-2(3n+1)] chia hết cho x

hay 1 chia hết cho x

suy ra: x e Ư(1)

Ư(1)={1}

do đó x=1

nên ƯCLN(2n+1;3n+1)=1

vì ƯCLN  của 2n+1 và 3n+1 là 1 nên hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau