Gọi \(ƯC\left(2x-y;x+y+1\right)=d\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow2x-y⋮d,x+y+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)⋮d^2\Rightarrow x^2⋮d^2\Rightarrow x⋮d\) (1)

Mặt khác, \(2x-y+x+y+1⋮d\Rightarrow3x+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2) ta được: \(3x+1-3x⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy 2x - y và x + y + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mà \(\left(2x-y\right)\left(x+y+1\right)\) là số chính phương

Nên 2x - y và x + y + 1 là 2 số chính phương.

2. 

\(\frac{2}{2x+1}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow y.\left(2x+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow y;2x+1\inƯ\left(8\right)\)

Mà 2x + 1 là số lẻ \(\Rightarrow2x+1\in\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng:

Vì 10 = 2 * 5 = 1 * 10 nên có các trường hợp sau
- Trường hợp 1: 2x + 1 = 10, y - 3 = 1 (loại, vì 2x + 1 lẻ)

- Trường hợp 2: 2x + 1 = 1, y - 3 = 10 => x = 0, y = 13

- Trường hợp 3: 2x + 1 = 2, y - 3 = 5 (loại)

- Trường hợp 4: 2x + 1 = 5, y - 3 = 2 => x = 2, y = 5

Vậy cặp số cho tích xy lớn nhất là (2,5)

\(\left(2x+1\right)\left(y-3\right)=10<=>2x+1;y-3\inƯ\left(10\right)\)

Cặp số (x;y) có tích lớn nhất là:(5;2) có tích bằng 10