\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)

và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)

nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)

<=> 0\(\ge 0\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )

=> \(a\ge2ora\le-2\)

 BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)

(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)

Vậy BĐT trên luôn đúng 

\(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}=\frac{x+y}{xy}\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2.\)

mà (x + y)² >=0 với mọi x;y => xy >= 0. => x;y không thể trái dấu. đpcm

Ta có; x < A ⇔ - A < x < A .

Suy ra; nếu a < b  thì  - b < a < b ⇒ - b ≤ a ≤ b

Nếu a, b là những số thực và  a ≤ b   thì  a 2 ≤ b 2 ⇔ a 2 ≤ b 2

Với mọi x ta luôn có: - x ≤ x

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\)\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu " = " xảy ra ⇔ a=b

\(A=2x^2+4y^2+4xy-6z+10\)

\(=\left(x^2+4y^2+4xy\right)+\left(x^2-6x+9\right)+1\)

   \(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\ge0+0+1=1>0\)

Vậy ...