làm ơn viết rõ đề dùm 

Nguyễn Huy Thắng nối đúng cậu vào \(fx\)nha

chả nhìn thấy cái gì toét hết cả mát

de gi ki vay ban tinh khong ra

x^3−y^3+z^3+3xyz

=(x−y)^3+z^3+3x2y−3xy2+3xyz

=(x−y+z)(x^2−2xy+y^2−zx+yz+z^2)+3xy(x−y+z)

=(x−y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz−zx)

=12.(x−y+z)[(x+y)^2+(y+z)^2+(z−x)^2]

Thay vào biểu thức ta có:

\(\frac{\frac{1}{2}\left(x-y-z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]}{\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

=\(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

Kết quả thật đáng ngạc nhiên. 

Sửa đề:

Lời giải:

\(\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{x+z}=\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{1}{x+y+z}\)(nghĩ vậy,vì đề bạn thiếu)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{x+z}=\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x+y+z}{y+z+x+z+x+y}=\dfrac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\)Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{y}{x+z}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{x+y+z}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=2x\\x+z=2y\\x+y=2z\\x+y+z=2\end{matrix}\right.\)

\(\circledast\)Từ \(x+y+z=2\Leftrightarrow y+z=2-x\)

Nên \(2-x=2x\Leftrightarrow3x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

\(\circledast\)Từ \(x+y+z=2\Leftrightarrow x+z=2-y\)

Nên \(2-y=2y\Leftrightarrow3y=2\Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3}\)

\(\circledast\)Từ \(x+y+z=2\Leftrightarrow x+y=2-z\)

Nên \(2-z=2z\Leftrightarrow3z=2\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

1: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)

\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)

\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)

\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)

\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)

\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

2. áp dạng bất đẳng thức cauchy - schwarz dạng engel

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

dấu bằng xay ra khi x=y=z=1

lm bất đẳng thức cô si nhé!!! Thanks