Lời giải:

Biến đổi:

\((a+b)(b+c)(c+a)-2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)

\(=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)-3abc\)

\(=(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\)

Ta thấy , nếu cả 3 số \(a,b,c\) đều lẻ, thì \(a+b+c\) lẻ, do đó \(a+b+c\not\vdots 6\) (không t/m điều kiện đề bài)

Do đó, tồn tại ít nhất một số trong 3 số $a,b,c$ là số chẵn

Kéo theo \(3abc\vdots 6\)

Mà \(a+b+c\vdots 6\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\vdots 6\)

\(\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc\vdots 6\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 6\) (đpcm)

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4