chứng minh: x(x-1)+8(x-1)=(x-1).(x+8)
Chứng minh rằng 1+x+x^2+...+x^31=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^16)
\(\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+...+x^{31}\right)=1-x^{32}\)
\(\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)
\(=\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)
\(=\left(1-x^4\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)
\(=\left(1-x^8\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right)\)
\(=\left(1-x^{16}\right)\left(1+x^{16}\right)\)
\(=1-x^{32}\)
Ta có đpcm.
1,Cho 0<x<1/2. chứng minh 1/x + 1/(1-2x) >=8
2, Cho x,y>0 và x+y=1 chứng minh \(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}>=8\)
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
1)Cho số thực x khác o thỏa mãn x^2 - x - 1=0 . Tính (x^4 - x^8 + 1/x^4 - 1/x^8 - 1)^2019
2) Cho P là số nguyên tố >3. Chứng minh P^2 - 1 chia hết cho 24.
3) Cho a^2 + b^2 + c^2= ab + bc + ca. Chứng minh a=b=c.
Cho x,y,z >0 và x+y+z=6 Chứng minh \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)
bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
cho x,y,z>0 và x+y+z=6.chứng minh:\(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
Chứng minh rằng (X+1)+(X+8) với X thuộc N thì (X+1)+(X+8) chia hết cho 2
Nhớ trả lời đầy đủ
Cho x,y,z >0 và x+y+z = 6. chứng minh rằng \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)
\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)
\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)
\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)
Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm
Một cách khác:
Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$
Bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$
------------------------------
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)
Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)
Vậy.......
Thực hiện phép tính:
a/ 1/(1-x)+1/(1+x)+1/(1+x^2)+4/(1+x^4)+8/(1+x^8)+16/(1+x^16)
b/chứng minh nếu 1/x+1/y+1/z=2 và x+y+z=xưa thi 1/x^2+1/y^2+1/z^2
chứng minh x^8 - x^7 + x^5 - x^3 +1 >0