Cho em xin kiến thức lớp 9 em lm cho, chứ chả hiểu cái đg tròn nội tiếp là cái j

a) Áp dụng định lý Talet đảo:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{AQ}{BD}\\\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AP}{DC}\end{matrix}\right.\)(do AQ//BD,AP//DC)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AQ=\dfrac{AF.BD}{BF}\\AP=\dfrac{AE.DC}{EC}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BD=BF\\CE=CD\end{matrix}\right.\)(Tam giác ABC ngoại tiếp (I))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AQ=AF\\AP=AE\end{matrix}\right.\)

Mà AE=AF(Tam giác ABC ngoại tiếp (I))

=> AQ=AP

Mà A,Q,P thẳng hàng

=> A là trung điểm PQ

Bổ đề: Xét tam giác ABC có X và Y thuộc BC sao cho AX và AY đối xứng nhau qua phân giác góc BAC thì \(\frac{XB}{XC}.\frac{YB}{YC}=\frac{AB^2}{AC^2}\).

Giải bài toán:

Gọi đường thẳng đối xứng với PK qua phân giác của ^EPF cắt EF tại S. Ta sẽ chỉ ra S cố định, thật vậy:

Kéo dài KP cắt EF tại L, PE cắt KC tại T, PF cắt KB tại G, KP cắt GT tại I

Ta có ^GKT = ^PKB + ^PKC = ^PFB + ^PEC = ^PEF + ^PFE = 180⁰ - ^GPT, suy ra tứ giác PTKG nội tiếp

Suy ra ^PGT = ^PKT = ^PEC = ^PFE do đó GT // FE. Từ đó, áp dụng Bổ đề, ta có biến đổi tỉ số:

\(\frac{LE}{LF}.\frac{SE}{SF}=\frac{PE^2}{PF^2}\Leftrightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{PE^2}{PF^2}.\frac{LF}{LE}=\frac{PT^2}{PG^2}.\frac{IG}{IT}=\frac{PT^2}{PG^2}.\frac{IG}{IP}.\frac{IP}{IT}=\frac{PT^2}{PG^2}.\frac{KG}{PT}.\frac{PG}{KT}\)

\(=\frac{PT}{PG}.\frac{KG}{KT}=\frac{ET}{FG}.\frac{KG}{KT}=\frac{KP}{BF}.\frac{CE}{KP}=\frac{CE}{BF}\)

Hạ BN,CM vuông góc với EF, ta dễ có \(\frac{SE}{SF}=\frac{CE}{BF}=\frac{CD}{BD}=\frac{EM}{FN}=\frac{SE+EM}{SF+FN}=\frac{SM}{SN}\)

Chú ý rằng BN // CM và cùng vuông góc EF, do vậy DS vuông góc EF. Mà D,E,F cố định nên S cố định

Vậy ta thu được điều phải chứng minh.

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

Bài 1: (LHP 2001 – 2002)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC.

a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng.

c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài lớn nhất.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 1.

Bài 2: (NK 2003 – 2004 CD)

Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA.

b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác định quĩ tích của H.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 2.

Bài 3: (NK 2005 – 2006 AB)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng.

c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 3.

Bài 4: (NK 2006 – 2007 CD)

Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại M và N, góc NHM = 120 độ.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 4.

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng.

b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 5.

Bài 6: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 6.

Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC = 60 độ, nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao

BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.

b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 7.

Bài 8:(NK 2004 – 2005 AB)

Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O).

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 8.

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC = 45 độ,  nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH.

a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính BC theo R.

c) Tứ giác BFOE là hình gì?

d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 9.

Bài 10*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 10.

Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp

b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm AC.

c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA.

d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh HB là phân giác của góc EHD.

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 11.

Bài 12: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD và OI.

a) Chứng minh R² = OE.OM = OI.OK.

b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.

c) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh góc DEC = 2 góc DBC .

Xem lời giải bài toán hình học luyện thi vào 10 chuyên toán số 12.