Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có: 
AB < OA + OB (1) 
BC < OB + OC (2) 
CD < OC + OD (3) 
DA < OD + OA (4) 
(1) + (2) + (3) + (4) : 
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD) 
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*) 
Mặt khác : 
AC < AB + BC (1') 
BD < BC + CD (2') 
AC < CD + DA (3') 
BD < DA + AB (4') 
(1') + (2') + (3') + (4') : 
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) 
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**) 
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Gọi tứ giác là ABCD,O là giao điểm của 2 đường chéo

Xét t/g AOB có: OA+OB>AB

Xét t/g BOC có: OB+OC>BC

Xét t/g COD có: OC+OD>CD

Xét t/g AOD có: OA+OD>DA

Do đó: OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA

=>2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+DA

=>AC+BD > \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

Xét t/g ABC có: AB+BC > AC

Xét t/g BDC có: BC+DC > BD

Xét t/g CDA có: CD+AD > AC

Xét t/g DAB có: DA+AB > BD

Do đó AB+BC+BC+CD+CD+AD+DA+AB > AC+BD+AC+BD

=>2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA > AC+BD (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

1. Cho tứ giác ABCD, gọi M là trung điểm của AD. N là trung điểm của BC. 

 Chứng minh: a) 2MN bé hơn hoặc = AB+CD

                       b) trong trường hợp dấu = xảy ra, tứ giác ABCD là hình gì

2. Cho tam giác abc đều, M là điểm nằm trong tam giác, qua m kẻ các đường thẳng // vs ab,//vsbc,//ac cắt ab,ac,bc tại e,d,f

Chứng minh:a, các tứ giác bfmd, cdme, aemf là hình thang cân

                     b, trong 3 đoạn ma,mb,mc thì đọ dài một đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại

mk chưa hok tới bài này nên ko bít sorry!!!! ^^

6547756756855353565775675353535354565654742346