Ta thấy \(87=1.87=3.29\) nên ta xét 2TH

 TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=1\\S\left(n+1\right)=87\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n\right)=1\) nên \(n=100...00\), do đó \(n+1=100...01\) nên \(S\left(n+1\right)=2\), mâu thuẫn.

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=87\\S\left(n+1\right)=1\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n+1\right)=1\) nên \(n+1=100...00\), do đó \(n=999...99\) chia hết cho 9, dẫn đến \(S\left(n\right)⋮9\), mâu thuẫn với \(S\left(n\right)=87\)

 TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=3\\S\left(n+1\right)=29\end{matrix}\right.\)

Vì \(S\left(n\right)=3\) nên \(n⋮3\) \(\Rightarrow n+1\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow S\left(n+1\right)\) chia 3 dư 1. Thế nhưng 29 chia 3 dư 2, vô lý.

 TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=29\\S\left(n+1\right)=3\end{matrix}\right.\) . Ta lại xét các TH:

   TH4.1: \(n+1=10...010...01\) hoặc \(200...01\) hoặc \(100...2\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có \(S\left(n\right)=2\), không thỏa mãn.

   TH4.2: \(n+1=10...010...010...0\) hoặc \(200...0100...0\) hoặc \(100...020...0\) hoặc \(300...00\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có\(S\left(n\right)=2+9m\left(m\inℕ\right)\) với m là số chữ số 9 có trong n. Để chọn được số nhỏ nhất, ta chỉ việc lược bỏ tất cả các số 0 ở giữa và cho \(m=3\) để có \(S\left(n\right)=29\). Vậy, ta tìm được \(n=11999\) (thỏa mãn)

 Vậy, số cần tìm là 11999.

giải nhanh các bn ạ

dễ thấy để S(n) và S(n+1) đều chia hết cho 1 số thì đuôi của n kết thúc bằng các số 9.

giả sử n có x số 9 cuối(ta tìm x nhỏ nhất)

khi đó n có dạng a 99...9 (x số 9)

=> n+1=b00...0 ( x+1 số 0) với b=a+1

do S(n) ≡ S(n+1) (mod 7) =>  a+9x ≡ b (mod 7) => 9x  ≡ 1 (mod 7) 

=> x=4

=> n=a9999

mà S(n) chia hết cho 7 => a=6 => n=69999 là nhỏ nhất thỏa mãn :D

gọi a là số chữ số của n.

dễ thấy S(n)>0 => n>2012 => a ≥ 4

với n=2013 thấy thỏa mãn.

với n>2013 ta có: S(n)=n(n-2014)+n+6 ≥ n+6 > n > \(10^a\) > 9a (với a ≥ 4)

\(S\left(n\right).S\left(n+1\right)=3.29=1.87\)

- Nếu \(S\left(n\right)=1\Rightarrow\) \(n\) có dạng \(100...0\) \(\Rightarrow S\left(n+1\right)=2\ne87\) (loại)

\(\Rightarrow S\left(n\right).S\left(n+1\right)=3.29\)

Gọi \(n\) có dạng \(\overline{a_1a_2...a_k}\) với \(a_i\in N;a_1\ne0\)

- Nếu \(a_k\ne9\Rightarrow S\left(n+1\right)=S\left(n\right)+1\Rightarrow S\left(n\right)\) và \(S\left(n+1\right)\) luôn khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow S\left(n\right).S\left(n+1\right)\) là một số chẵn, mà 87 lẻ \(\Rightarrow\) loại

\(\Rightarrow a_k=9\) \(\Rightarrow S\left(n\right)>S\left(n+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=29\\S\left(n+1\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S\left(n\right)-S\left(n+1\right)=26\)

Giả sử tận cùng bằng \(x\) số 9 \(\Rightarrow n=\overline{A9...9}\) với A có tận cùng khác 9

\(\Rightarrow n+1=\overline{B0...0}\) (x số 0 và \(B=A+1\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=S\left(A\right)+9.x\\S\left(n+1\right)=S\left(B\right)=S\left(A+1\right)=S\left(A\right)+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S\left(n\right)-S\left(n+1\right)=9x-1=26\Rightarrow9x=27\Rightarrow x=3\)

Vậy \(n=\overline{A999}\Rightarrow S\left(n\right)=S\left(A\right)+27=29\Rightarrow S\left(A\right)=2\)

Mà \(n\) nhỏ nhất khi \(A\) nhỏ nhất, ta có số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2 là 2 \(\Rightarrow A=2\)

\(\Rightarrow n=2999\)

Vào đây tham khảo nha ! : Câu hỏi của Phạm Chí Cường - Toán lớp 6 | Học trực tuyến