Đặt \(\frac{n^2}{180-n}\)= P ( P nguyên tố )

=> n² = P . (180 - n ) => n² chia hết cho P => n chia hết cho P 

=> n = K . P( K thuộc N sao ) thay vào trên ta có :

(K . P)² = P . ( 180 - K . P ) 

K² .P²  = 180 .P - K.P²

K².P² +KP² = 180 .P

K(K + 1) = 180 = 2² . 3² . 5

Do P là số nguyên tố nên P thuộc { 2,3,5}

+> Nếu P = 2 ta có : K .( K+1) =2. 3² . 5 = 90=> K = 90

Khi đó n = 9 .2 =18

+> Nếu P = 3 ta có : K ( K + 1 ) = 2² . 3. 5 = 60 => K thuộc tập hợp rỗng 

+> Nếu P = 5 ta có : K ( K +1 ) =2².3² = 36 => K thuộc tập hợp rỗng

Vậy n = 18

\(P=\frac{n^2}{60-n}=\frac{60^2-\left(60^2-n^2\right)}{60-n}=\frac{3600-\left(60-n\right)\left(60+n\right)}{60-n}.\) \(P=\frac{3600}{60-n}-\left(60+n\right).\) 

Để P là số nguyên tố thì trước hết P phải là số nguyên. Khi n là số nguyên để P là số nguyên thì  (60 - n) phải là ước của 3600, P>0.

 suy ra n < 60  (Để P dương) như vậy n là ước của 60 \(n\in(1,2,3,4,5,6,10,12,15,30).\) 

Kiểm tra lần lượt, ta thấy n = 10 , n= 12 và n = 15 thỏa mãn. n = 10 , P  = 2   ;  n = 12,  P = 3  và  n = 15 , P = 5.

@TRẦN ĐỨC VINH: Gần đúng r bn nhé.

35485+111111923873=

n nhỏ nhất là 1 

dung roi day minh vua lam violimpic xong

chon khỉ chó PHẠM ĐứC TOÀN  sai cmnr

n=1

vì 1² + 5.1+1 =1+5+1=7 (thỏa mãn vì 7 là số nguyên tố)

Vậy n = 1

n=1 

vì 1² +5.1+1 =1+5+1=7

ta có 

n^2 + 5n + 1 

= n ( n+5) + 1 

vì 1 là số nguyên tố nên n^2 + 5n + 1 là số nguyên tố 

thì n( n+5) là số nguyên tố 

=> n (n+5) chia hết cho 1 và n( n+5) 

=> .........