giải sử 69 số đã cho là 1 < a₁ < a₂ < ..... < a₆₉ < 100. Khi đó a₁ < 32. xét hai dãy sau :

1 < a₁ + a₃ < a₁ + a₄ < ....< a₁ + a₆₉ < 132 ( 1 )

1 < a₃ - a₂ < a₄ - a₂ < ....< a₆₉ - a₂ < 132 ( 1 )

từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có 134 số hạng có giá trị từ 1 đến 132, => có 2 số bằng nhau mỗi số thuộc một dãy, chẳng hạn: a₁ + a_m = a_n - a₂ ( với 3 < m < n < 69 ), tức là ta tìm được 4 số a₁, a₂, a_n , a_m với a₁ < a₂ < a_m mà a₁ + a₂ + a_m = a_n ( đpcm )

mau lên mink cần lời giải gấp

qua de tong tat ca cac so bang 200 thi se co mot so so co tong la 100

Để chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đã cho, chúng ta có thể tìm được một số các số sao cho tổng của chúng bằng 100, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet và xem xét các tổng con của tập hợp các số này.

Gọi \( S \) là tập hợp gồm 100 số tự nhiên khác 0 không vượt quá 100. Giả sử các số trong tập \( S \) là \( a_1, a_2, \ldots, a_{100} \). Tổng của 100 số này là 200, nghĩa là:
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 200. \]

Xét tất cả các tổng con của tập hợp \( S \), nghĩa là xét tất cả các tổng con có dạng:
\[ a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_k}, \]
với \( 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq 100 \).

Có tất cả \( 2^{100} \) tổng con khác nhau (bao gồm cả tổng con rỗng là 0). Ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet để tìm ra tổng con bằng 100.

Chia các tổng con thành hai loại:
1. Các tổng con nhỏ hơn hoặc bằng 100.
2. Các tổng con lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 200.

Nếu có một tổng con nào đó bằng 100, ta đã hoàn thành chứng minh. 

Giả sử ngược lại không có tổng con nào bằng 100. Khi đó, mỗi tổng con đều là duy nhất và nằm trong khoảng từ 0 đến 200.

Xét hai tổng con bất kỳ \( T_1 \) và \( T_2 \) mà \( T_1 < T_2 \). Do tổng toàn bộ các số là 200, ta có:
\[ T_2 - T_1 \leq 200. \]
Nếu không có tổng con nào bằng 100, ta xét các hiệu:
\[ T - (T - 100) = 100, \]
với \( T \) là tổng của tất cả các phần tử. Nếu tồn tại hai tổng con \( T_1 \) và \( T_2 \) sao cho \( T_1 < T_2 \) và \( T_2 - T_1 = 100 \), thì hiệu này sẽ cho chúng ta tổng bằng 100. Vì tổng các số là 200 nên hiệu giữa hai tổng con \( T_2 \) và \( T_1 \) phải tồn tại và bằng 100.

Như vậy, theo nguyên lý Dirichlet và sự ràng buộc của tổng 200, chắc chắn tồn tại một tổng con bằng 100 trong tập hợp các số này. 

Đây là điều cần chứng minh.

Giả sử  0≤a₁<a₂<...<a₁₀₁₀≤2015  là 1010 số tự nhiên được chọn .

Xét 1009 số : b_i=a₁₀₁₀−a_i(i=1,2,...,1009)

=>  0<b₁₀₀₉<b₁₀₀₈<...<b₁≤2015

Theo nguyên lý Dirichlet trong 2019 số  a_i,b_i không vượt quá 2015 luôn tồn tại 2 số bằng nhau, mà các số  a_i,b_i  không thể bằng nhau

=>  Tồn tại i , j  sao cho  :  a_j=b_i

=>  a_j=a₁₀₁₀−a_i=>a₁₀₁₀=a_i+a_j     ( đpcm ) .

Dirchle bạn mik nói là đi dép lê =))

TL: trùng hợp nhỉ mình cũng thế :)

#Học tốt