Sửa lại đề :

Cho \(0\le x\le y\le z\le1\) CMR : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)

Giải :

Từ \(x\le y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\le0\\y-1\le0\end{cases}\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0}\)

\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\)\(\left(x\ge0\right)\)

Mà \(\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\) nên \(\frac{z}{xy+1}\le\frac{2z}{x+y+z}\left(1\right)\)

CM tương tự ta cũng có :\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{2x}{x+y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{2y}{x+y+z}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng các vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (ĐPCM)

\(\)

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$

Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$

Thật vậy:

$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:

$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)

$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$

BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị

Trâu bò nhưng bù lại là đơn giản:

\(VP-VT\equiv f\left(x,y,z\right)=f\left(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1},\frac{c}{c+1}\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối quy đồng lên sẽ thấy điều hiển nhiên ;)

Bạn ghi sai đề rồi nhé! Nếu ta lần lượt thay số vào các biến  \(x,y,z\) ở vế trái của bất đẳng thức trên (chẳng hạng như  \(\frac{1}{3}\)) kết hợp với chú ý rằng \(x=y=z\)  (sẽ được chứng minh ở các bước sau này), khi đó kết quả sẽ cho ra khác, tức là  \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vô lý!). Đó là lý do mình phải 'viết lại' đề cộng với một chút chỉnh sửa hợp lý về phương diện toán học. Hmmm, vất vả vật lộn với bài này quá nya. \(3\)  \(s\) đi!

Đề: Cho ba số thực dương  \(x,y,z\)  thỏa mãn  \(x+y+z=1\)  

Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{xz}{y+yz}}\le\frac{3}{2}\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Lời giải:

Từ giả thiết đã cho ở trên, ta dễ dàng chứng minh được  \(1>x,y,z>0\)  với mọi  \(x,y,z\in R^+\)

\(\Rightarrow\)  \(1-x>0;\)  \(1-y>0;\)  \(1-z>0\)  

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho hai số không âm với chú ý rằng  \(x+y+z=1\)  (theo giả thiết), ta có: 

\(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{1-x-y+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-y}+\frac{y}{1-x}\right)\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(y\)  \(\rightarrow\)  \(z\)  \(\rightarrow\)  \(x\), ta chứng minh được:

\(\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\right)\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-x}+\frac{x}{1-z}\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right),\)  ta được:

\(VT\left(\text{*}\right)\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{1-x}+\frac{z}{1-x}\right)+\left(\frac{x}{1-y}+\frac{z}{1-y}\right)+\left(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}=VP\left(\text{*}\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

ở mẫu phải là dấu cộng mới đúng chứ bạn

Lời giải:

Vì $0\leq x\leq y\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq xy\leq xz\leq yz$

$\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq \frac{x+y+z}{xy+1}(1)$

Xét $\frac{x+y+z}{xy+1}-2=\frac{x+y+z-2xy-2}{xy+1}=\frac{(x-1)(1-y)+(z-xy-1)}{xy+1}\leq 0$ do $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$)

$\Rightarrow \frac{x+y+z}{xy+1}\leq 2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq 2$ (đpcm)

Bài này mà lớp 7 á? Nguyễn Thiện Nhân

Lời giải:

Vì

Xét do )

Từ (đpcm)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(VT=\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{z\left(x+y+z\right)+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y\left(x+y+z\right)+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x\left(x+y+z\right)+yz}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Ủng hộ và kb với mình ha ^^

\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

Tương tự:

\(yz+1\ge y+z;zx+1\ge z+x\)

Khi đó

\(LHS\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\)

Không chắc nha !