Đễ

a) Theo bài ra: 4n - 7 ⋮ n - 1

⇔ \(\frac{4n-7}{n-1}\in Z\)

Suy ra, ta có: \(\frac{4n-7}{n-1}=\frac{n-1+n-1+n-1+n-1-3}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{n-1}{n-1}+\frac{n-1}{n-1}+\frac{n-1}{n-1}-\frac{3}{n-1}\)

\(=1+1+1+1-\frac{3}{n-1}=4-\frac{3}{n-1}\)

Để \(4-\frac{3}{n-1}\in Z\) thì \(\frac{-3}{n-1}\in Z\)

\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(3\right)\)

Mà Ư(3) = {\(\pm1\pm3\)}

Do đó: n - 1 = 1 ⇔ n = 2

hoặc n - 1 = -1 ⇔ n = 0

hoặc n - 1 = 3 ⇔ n = 4

hoặc n - 1 = -3 ⇔ n - 1 = -2 (loại vì -2∉ N)

Vậy n = {2;0;4)

Câu b làm tương tự nhé!

+ Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1. 4= 4.

Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4.

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên

1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)

= k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4

= k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.