1.Tìm 2 số hữu tỉ x và y sao cho:

a) x + y = xy = x : y (y khác 0)

b) x - y = xy = x: y (y khác 0)

c) x + y = xy = x - y = x : y (y khác 0)

d) 2( x + y) = x - y = x : y    (y khác 0)

2. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó bất kỳ 3 số nào cũng có tích là một số âm.

a) CM: tích của 100 số đó là 1 số dương.

b) Kết luận cả 100 số đó đều là âm được ko?

3.Cho 2 số hữu tỉ có tổng bằng \(\frac{4}{33}\)và tích của chúng bằng \(\frac{-4}{11}\). Tính tổng các số nghịch đảo của 2 số đó.

4. Viết 1999 số hữu tỉ trên một đường tròn, trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng \(\frac{1}{9}\). Tìm các số đó.

1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt: 
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0 
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0 
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max 
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5 
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b 
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24 
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60 
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27 
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12. 
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441 
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố 
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau 
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)! 
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35 
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng 
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương) 
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x 
16. a) CM x² + y² = 7z² 
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ

1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt: 
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0 
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0 
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max 
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5 
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b 
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24 
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60 
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27 
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12. 
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441 
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố 
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau 
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)! 
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35 
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng 
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương) 
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x 
16. a) CM x² + y² = 7z² 
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ

Bài 1) Tìm số nguyên n để 

a) 3n chia hết (n+1)      b) (3n+2) chia hết (n+1)      c) (n+2) chia hết (2n+1)     d) (n-2) chia hết (3n+1)

Bài 2) Tìm 2 số nguyên a,b biết  a(b-2)=3

Bài 3) Tìm 2 số nguyên a,b biết :

a) a.b +a+b = 4                                           b) a+2ab+2b = 4

Bài 4) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

Bài 5) Tìm x,y thuộc Z biết :

a) xy+3x-7y =21                                           b) xy+3x-2y =11

Bài 6) Tìm x thuộc Z biết : (x+1) + (x+3) + (x+5)+...+ (x+2019) = 0

Bài 7) Cho a;b;x;y là các số nguyên

Chứng minh rằng nếu (ax - by) chia hết cho (x+y) thì (ay + bx) chia hết cho (x + y)

bài 1 : cho A = ( 5m^2 - 8m^2 - 9m^2 ) x ( -n^3 + 4n^3 ) 

với giá trị nào của m và n thì A >= 0.

bài 2 : tìm x thuộc Z sao cho

a) ( x - 7 ) ( x + 3 ) < 0

b) ( x + 1 ) + ( x + 3 ) + ... + ( x + 99 ) = 0

c) ( x - 3 ) + ( x - 2 ) + ( x - 1 ) + ... + 10 + 11 = 11

d) xy + 3x - 7y = 21

e) xy + 3x - 2y = 11

f) ( x + 5 ) ( 3x - 12 ) > 0

g) ( x^3 + 5 ) ( x^3 + 10 ) ( x^3 + 15 ) ( x ^3 + 30 ) < 0

h) ( x - 7 ) ( xy + 1 ) = 9

i) 111/37 < x < 91/13

j) -84/14 < 3x < 108/9

k) -x/4 = -9/x

l) x/4 = 18/x + 1

m) x/7 = 9/y và x > y 

n) -2/x = y/5 và x < 0 < y

bài 3 : CMR trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương của số ở giữa hơn tích của hai số kia đúng 1 đơn vị

bài 4 : số (-3)^20 + 1 có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp ko

bài 5 : cho a, b, c, d thuộc Z. biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d, CMR a = b

bài 6 : tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng hiệu của chúng

bài 7 : cho n thuộc N, hỏi sau n giờ thì kim giờ quay đc bao nhiêu vòng, với giá trị nào của n thì số vòng quay là một số tự nhiên

bài 8 : cho A = { 6; 7; 8; 9 }, B = { -1; -2; -3; 4; 8 }

          a) có bao nhiêu hiệu dạng a - b với a thuộc A, b thuộc B

          b) có bao nhiêu hiệu chia hết cho 5

          c) có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm