x+y=2

\(\Rightarrow\)x=1; x=0; x=-1; x=-2;...

y=1; y=2; y=3; y=4;...

\(\Rightarrow\)x.y= 1.1=1=1

0.2=0<1

-1.3=-3<1

-2.4=-8<1

.............

\(\Rightarrow\)Nếu x+y=2 thì x.y\(\le\)1

Ta có: \(x+y=2\)

\(\Rightarrow x=2-y.\)

Có: \(x.y=\left(2-y\right).y\)

\(\Rightarrow x.y=2y-y^2\)

\(\Rightarrow x.y=-y^2+2y-1+1\)

\(\Rightarrow x.y=-\left(y-1\right)^2+1.\)

Vì \(\left(y-1\right)^2\ge0\) \(\forall y.\)

\(\Rightarrow-\left(y-1\right)^2\le0\) \(\forall y.\)

\(\Rightarrow-\left(y-1\right)^2+1\le1\) \(\forall y.\)

\(\Rightarrow x.y\le1\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

a. Ta có :

\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\left|xy\right|\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow2\left|xy\right|\ge2xy\Leftrightarrow\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra <=> x và y cùng dấu 

Áp dụng bất đẳng thức cho 2 số dương 2x và 8y ta có:

2x+8y\(\ge\)2\(\sqrt{2x.8y}\)=2\(\sqrt{16xy}\)

Mà x.y=4 => 2x+8y \(\ge\)2\(\sqrt{2x.8y}\)=2\(\sqrt{16.4}\)

=> 2.8=16

Vậy 2x+8y\(\ge\)16

Q(-3)=9x-3b+x ;Q(1)=a+b+c

lấy Q(-3)+Q(1)=10a-2b+2c=2(5a-b+c)=2.0=0(vì 5a-b-c=0)

mà 0=0=)Q(-3)+Q(1)< hoặc =0 =)Q(-3)và Q(1)đối nhau 

mà 2 số đối nhau luôn có 1 số âm và 1 số dương

mà số âm. số dương bằng số âm mà số âm luôn bé hơn 0 nên =)Q(-3).Q(1) < hoặc = 0

\(a)\)

\(\frac{x^2+y^2+5}{2}\ge x+2y\)

\(\rightarrow\frac{x^2+y^2+5}{2}-x-2y\ge0\)

\(\rightarrow\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)

b)

Áp dụng bất đẳng thức dạng 1/a + 1/b + 4 / a+b

-> 1/a+1 + 1/b+1 ≥ 4/a+b+1+1

Mà ta có: a+b=1

-> 1/a+1 + 1/b+1 ≥ 4/1+1+1 = 4/3

 x+y=2 
<=> x=2-y(1) 
giả sử x*y≤1 
<=>(2-y)y≤1 
<=>y^2 - 2y +1≥0 
<=> (y-1)^2≥0 
<=>y≥1(2) 
từ (1),(2)=> x*y≤1 
 

xy = 1 vì :

1 + 1 = 2

vậy xy là 1 nha      

ta có Áp dụng bđt cô si ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow1\ge xy\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> x=y=1

Lời giải:

Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:

$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$

$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$

Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$ 

Ta có đpcm.