Cho a,b,c là 3 số chính phương.Chứng minh rằng (a-b).(b-c).(c-a) chia hết cho 12
Cho a,b,c là các số nguyên sao xcho 2a+b, 2b+c, 2c+a là các sos chính phương, biết rằng trong 3 số chính phương có 1 số chia hết cho 3. Chứng minh rằng: (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27
giả sử 2a+b chia hết cho 3 thì 2 số kia chia 3 dư 1 vì nó là scp
nên 2b+c-2c-a = 2b-a-c chia hết cho 3
lại trừ đi 2a+b thì được b-c-3a chia hết cho 3 suy ra b-c chia hết cho 3
tương tự ta có c-a và a-b chia hết cho 3
cậu phân tích p ra sẽ triệt tiêu hết a^3, b^3 , c^3 và còn lại -3ab(a-b)-3bc(b-c)-3ca(c-a) = -3(a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 81
cho a,b,c thỏa mãn 2a+b,2b+c,2c+a là số chính phương.biết một trong ba số chính phương ấy chia hết cho 3 chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 chia hết cho 81
Cho a,b,c là 3 số chính phương.
Chứng minh ràng : P = (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 12
\(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)
\(P=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x^2-y^2\right)\left(y^2-z^2\right)\left(z^2-x^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
..............................
a=x2;b=y2;c=z2 P=(a−b)(b−c)(c−a)=(x2−y2)(y2−z2)(z2−x2) =(x−y)(x+y)(y−z)(y−z)(z−x)(z+x)
1) Chứng minh rằng tích của 1 số chính phương và số tự nhiên đứng liền kề trước nó chia hết cho 12.
2) chứng minh rằng nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b đồng thời chia hết cho 3.
3) chứng minh nếu a3 +b3 +c3 chia hết cho 9 thì ít nhất 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 3
cho (a;b)=1 và a nhân b là số chính phương.Chứng minh rằng a và b đều là các số chính phương.Bạn nào giải dược nhanh nhất mình kết bạn nha!!!
Bài 1: Cho a , b là các STN khi : 12 dư 7 . c là số :12 dư 5
a) chứng minh rằng a+b ; b+c;a-b đều chia hết cho 12
b) Xét a+b+c ; a-b+c; a+b-c có chia hết cho 12 ko? vì sao
1.Gọi số đó là a, thương của phép chia là q, ta có :
a : 64 = q (dư 32)
nên a = q . 64 + 32
a = (q . 82) + 32
Vì q . 82 chia hết cho 8 ; 32 chia hết cho 8
nên a chia hết cho 8
Vậy số đó chia hết cho 8
2. Gọi số cần tìm là b, thương của phép chia là r , ta có:
b : 28 = r (dư 17)
nên b = r . 28 + 17
b = r . 14 . 2 + 17
Vì r . 14 . 2 chia hết cho 14 mà 17 không chia hết cho 14
nên b không chia hết cho 14
Cho a , b là các số tự nhiên. Khi chia hết cho 12 dư 7; c là số tự nhiên khi chia cho 12 dư 5
Chứng minh rằng: a + c chia hết cho 12 ; b + c chia hết cho 12 ; a - b chia hết cho 12
Cho a,b,c là 3 số chính phương . Chứng tỏ (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 12.
a;b;c là các số chính phương nên viết được dưới dạng: \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\mid x;y;z\in Z\)
Do đó, \(M=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
Trong 3 số x;y;z có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn hoặc lẻ. Suy ra Tổng và Hiệu 2 số có cùng tính chẵn (hoặc lẻ) đó là số chẵn. => \(M\vdots4\)(1)Trong 3 số x;y;z nếu có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho 3 => \(M\vdots3\)(a)Trong 3 số x;y;z nếu không có bất kỳ 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 3 thì các số dư đó khác nhau và lần lượt là: 0;1;2. Khi đó tổng 2 số có số dư =1 và số có số dư bằng 2 sẽ chia hết cho 3 =>\(M\vdots3\)(b)Từ (a) và (b) => \(M\vdots3\forall x;y;z\)(2)Từ (1) và (2) =>\(M\vdots12\forall a;b;c\)(ĐPCM)Cho ba số chính phương A, B, C. Chứng tỏ rằng :
( A - B )( B - C )( C - A ) chia hết cho 12
Trả lời
Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1
Đặt A=(a-b)(b-c)(c-a)
Vì 1 số chính phuong chia 4 và 3 dư 0 hoặc 1
*)Vì a;b;c chia 3 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số cg số dư khi chia 3
=> Hiệu của chúg chia hết cho 3
=> a-b; b-c hoặc c-a chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (1)
*) Vì a;b;c chia 4 dư 0 hoặc 1
=> Có ít nhất 2 số cg số dư khi chia cho 4
=> Hiệu của chúg chia hết cho 4
=> a-b; b-a; c-a chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4 (2)
Từ (1)(2)=> A chia hết chi 12 vì (3;4)=1
Vậy a;b;c là 3 số chính phương thì (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (đpcm)
Ta có : C > A > B
*Cm ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 3
Vì một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà có ba số chính phương nên sẽ có 2 số cùng dư khi chia cho 3 (*).
Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) mỗi hiệu trên là thương của hai số mỗi số trừ cho nhau một lần nên theo ( *) thì có một hiệu chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) \(⋮3\left(1\right)\)
*Cm ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 4
Vì một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà có ba số chính phương nên sẽ có 2 số cùng dư khi chia cho 4(2).
Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) mỗi hiệu trên là thương của hai số mỗi số trừ cho nhau một lần nên theo ( 2) thì có một hiệu chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) \(⋮4\left(3\right)\)
Từ (1) và (3) suy ra : Tích ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 4 và 3 mà (4;3) =1 => ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 3.4 <=> ( A - B ) ( B- C ) ( C - A ) chia hết cho 12 .
Vậy bài toán được chứng tỏ