Chứng minh rằng: \(\frac{x-y}{1+xy}+\frac{y-z}{1+yz}+\frac{z-x}{1+zx}=\frac{x-y}{1+xy}\cdot\frac{y-z}{1+yz}\cdot\frac{z-x}{1+zx}\)

cho x,y,z>0 với xy+yz+zx=3

Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(x+z\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(y+x\right)}\le\frac{1}{xyz}\)

cho x,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=4

chứng minh \(\frac{1}{2xy+xz+yz}+\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}\le\frac{1}{xyz}\)

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn xyz=2021

Chứng minh rằng \(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{2021}{yz+2021y+2021}+\frac{2021}{zx+z+2021}=1\)

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)

Cho x, y, z, thỏa mãn xyz=1 .Chứng minh rằng :\(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{1}{xyz+yz+y}=1\)

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh :

\(\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{z^5+zx+x^5}\le1\)

cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn \(xyz=1\)chứng minh rằng 

\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)

cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn \(xyz=1\)chứng minh rằng 

\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\ge3\sqrt{3}\)