00000000000000000000000000000000

1, Vì n+2016, n+2017,n+2018 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chia hết cho 3

2, n²\(⋮\)n+1 (1)

Vì n+1\(⋮\)n+1   => (n+1)(n-1)\(⋮\)n+1

=> n²-1\(⋮\)n+1 (2)

Lấy (1) trừ (2) ta có   1\(⋮\)n+1

=>n+1=1=> n=0

2/ Ta có : 4x - 3 \(⋮\) x - 2

<=> 4x - 8 + 5  \(⋮\) x - 2

<=> 4(x - 2) + 5  \(⋮\) x - 2

<=> 5 \(⋮\)x - 2 

=> x - 2 thuộc Ư(5) = {-5;-1;1;5}

Ta có bảng : 

Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.

Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.

Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)

Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.

Do đó n5-n chia hết cho 30

\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

=> \(A⋮16\)

Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24

=> A\(A⋮384\)

Ta có:

\(nu_{n+2}-\left(3n+1\right)u_{n+1}+2\left(n+1\right)u_n=3\)

\(\Leftrightarrow n\left(u_{n+2}-2u_{n+1}\right)-\left(n+1\right)\left(u_{n+1}-2u_n\right)=3\)

Đặt \(u_{n+1}-2u_n=v_n\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_2-2u_1=-2-2.\left(-1\right)=0\\nv_{n+1}-\left(n+1\right)v_n=3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2}v_2-v_1=\dfrac{3}{1.2}\)

\(\dfrac{1}{3}v_3-\dfrac{1}{2}v_2=\dfrac{3}{2.3}\)

\(\dfrac{1}{4}v_4-\dfrac{1}{3}v_3=\dfrac{3}{3.4}\)

\(...\)

\(\dfrac{1}{n}v_n-\dfrac{1}{n-1}v_{n-1}=\dfrac{3}{\left(n-1\right)n}\)

\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-\dfrac{1}{n}v_n=\dfrac{3}{n\left(n+1\right)}\)

Cộng theo vế, ta có:

\(\dfrac{1}{n+1}v_{n+1}-v_1=3\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=3n\Leftrightarrow v_n=3\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-2u_n=3\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}+3\left(n+1\right)=2\left(u_n+3n\right)\)

Đặt \(a_n=u_n+3n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=u_1+3=2\\a_{n+1}=2a_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a_n=2^n\)\(\Rightarrow u_n=2^n-3n\)\(,\forall n\in N\text{*}\)

tích cho trước đi tui hộ cho

\(\left(3n+5\right)⋮n+1\)

\(\Rightarrow3n+3+2⋮n+1\)

\(\Rightarrow3\left(n+1\right)+2⋮n+1\)

mà : \(3\left(n+1\right)⋮n+1\)

\(\Rightarrow2⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

Với n + 1 = 1 => n = 0 

với n + 1 = -1 => n = -2

với n + 1 = 2 => n = 1 

với n + 1 = -2 => n = -3

=> n = 0; -2; -1; 3