C = 10ⁿ + 18n -28

+với n =1 => C =10+18 -28 =0 chia  hết cho 9

+ Giả sử C chia hết cho 9  với  n-1

  => C =10^n-1 + 18(n-1) -28 chia hết cho 9

+ Ta chứng minh C  chia hết cho 9 đúng với n

C= [10ⁿ +18n -28 = 10.10^n-1 +18(n -1).10  -280 ] +(162n +432)

  =10[10^n-1 + 18(n-1) -28 ] +9(18n+48) chia hết cho 9

=> dpcm

a,

n⁵ -n=n(n⁴ -1)=n(n²  +1)(n+1)(n-1)

vi n,n+1,n-1 la 3 so tu nhien lien tiep nen h cau chung chia het cho 3 va 2

mat khac (2;3)=1 nen S= n(n+1)(n-1)(n² +1)chia het cho 6

xet n=5k  

ma(5;6)=1nen Schia het cho 30

tuong tu voi n=5k+1 thi n-1 chia het cho 5

voi n=5k+2 thi n² +1 chia het cho 5

voi n=5k+3 thi n² +1 chia het cho 5

voi n=5k+4 thi n+1 chia het cho 5

vay voi moi n nguyen thi n⁵ -n chia het cho 30

Lời giải:

Ta xét các TH sau:

TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$

\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)

Ta thấy:

\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)

\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)

\(28\equiv 1\pmod {27}\)

\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)

TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$

\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)

Ta thấy:

\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)

\(54k\equiv 0\pmod {27}\)

\(10\equiv 10\pmod {27}\)

\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)

TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$

\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)

Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$

Lời giải:

Ta xét các TH sau:

TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$

\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)

Ta thấy:

\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)

\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)

\(28\equiv 1\pmod {27}\)

\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)

TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$

\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)

Ta thấy:

\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)

\(54k\equiv 0\pmod {27}\)

\(10\equiv 10\pmod {27}\)

\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)

TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$

\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)

Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$

\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)

\(c,\forall n=1\Leftrightarrow10+18-28=0⋮27\\ \text{G/s }n=k\Leftrightarrow\left(10^k+18k-28\right)⋮27\\ \Leftrightarrow10^k+18k-28=27m\left(m\in N\right)\\ \Leftrightarrow10^k=27m-18k+28\\ \forall n=k+1\Leftrightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28\\ =10.10^k+18k-10\\ =10\left(27m-18k+28\right)+18k-10=270m-162k+270⋮27\)

Theo PP quy nạp ta đc đpcm