Giải:
Kẻ OI là tia phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+60^o+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{C}=120^o\)

Ta có: \(\frac{1}{2}\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=\frac{1}{2}.120^o\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{C}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{C_1}=60^o\)

Xét \(\Delta AOC\) có: \(\widehat{A_1}+\widehat{C_1}+\widehat{AOC}=180^o\)

\(\Rightarrow60^o+\widehat{AOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{O_2}=\widehat{O_3}\left(=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=60^o\)

Ta có: \(\widehat{O_4}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\) ( góc ngoài \(\Delta AOC\) )

\(\Rightarrow\widehat{O_4}=60^o\)

\(\widehat{O_1}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}\) ( góc ngoài \(\Delta AOC\)

\(\Rightarrow\widehat{O_1}=60^o\)

Xét \(\Delta EOA,\Delta IOA\) có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{A}\right)\)

AO: cạnh chung

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\left(=60^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EOA=\Delta IOA\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow OE=OI\) ( cạnh t/ứng ) (1)

Xét \(\Delta DOC,\Delta IOC\) có:
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

OC: cạnh chung

\(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\left(=60^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DOC=\Delta IOC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow OD=OI\) ( cạnh t/ứng ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OE=OD\left(=OI\right)\)

Vậy \(OE=OD\)

a) +) Ta có:

^BOC = 90\(^o\)+ \(\frac{\widehat{BAC}}{2}\)= 120\(^o\)

+) OF là phân giác của ^BOC 

=> ^BOF = ^COF = 60\(^o\)

+) Ta có: ^BOE + ^BOC = 180\(^o\)

=> ^BOE = 180\(^o\)- 120 \(^o\)= 60 \(^o\)

=> ^DOC = ^BOE = 60 \(^o\) ( đối đỉnh)

+) Xét \(\Delta\)OBF và \(\Delta\)OBE có:

^BOF = ^BOE = 60\(^o\)

OB chung 

^OBF = ^OBE ( BO là phân giác ^EBF )

=> \(\Delta\)OBF = \(\Delta\)OBE 

=> OE = OF (1)

+) Xét \(\Delta\)ODC và \(\Delta\)OFC có:

^DOC = ^FOC = 60\(^o\)

OC chung 

^DCO = ^FCO ( CO là phân giác ^DCF )

=> \(\Delta\)ODC = \(\Delta\)OFC 

=> OD = OF (2)

Từ (1); (2) => OD = OE = OF
b) Ta có: OE = OF => \(\Delta\)OEF cân và ^EOF = ^EOB + ^FOB = 60\(^o\)+60\(^o\)=120\(^o\)

=> ^OEF = ^OFE = ( 180\(^o\)-120\(^o\)) : 2 = 30 \(^o\)

Tương tự ta có thể chứng minh đc:

^OFD = ^ODF = 30\(^o\)

^OED = ^ODE = 30\(^o\)

=> ^DFE = ^DEF = ^EDF = 30\(^o\)+30\(^o\)= 60\(^o\)

=> Tam giác DEF đều 

Tại sao ^BOC = 90\(^o+\frac{\widehat{BAC}}{2}\). Em nên nhớ nó bởi vì sẽ ứng dụng vào rất nhiều bài.

Xét \(\Delta\)BOC có: ^BOC + ^BCO + ^CBO = 180\(^o\)

=> ^BOC = 180\(^o\)- ( ^BCO + ^CBO ) = 180\(^o\)- ( \(\frac{1}{2}\)^BCA + \(\frac{1}{2}\)^CBA) = 180\(^o\)- \(\frac{1}{2}\)( ^BCA + ^CBA) (1)

Xét \(\Delta\)ABC có: ^BAC + ^BCA + ^ABC = 180\(^o\)=> ^BCA + ^ABC = 180\(^o\)- ^BAC (2)

Từ (1); (2) =>  ^BOC = 180\(^o\) - \(\frac{1}{2}\)( 180\(^o\) - ^BAC ) = 90\(^o\)+  \(\frac{\widehat{BAC}}{2}\)

Cho cái hình đi bn....K có hình giải kiểu chi.