Đặt A = 7²⁰¹⁰ + 7²⁰⁰⁹ + ... + 7² + 7 + 1

=> 7A = 7²⁰¹¹ + 7²⁰¹⁰ + ... + 7³ + 7² + 7

Lấy 7A trừ A theo vế ta có : 

7A - A = (7²⁰¹¹ + 7²⁰¹⁰ + ... + 7³ + 7² + 7) - (7²⁰¹⁰ + 7²⁰⁰⁹ + ... + 7² + 7 + 1)

=> 6A = 7²⁰¹¹ - 1

=> A = (7²⁰¹¹ - 1) : 6

Khi đó M = 210.(7²⁰¹¹ - 1) : 6 + 35

= 35.(7²⁰¹¹ - 1) + 35

= 35.(7²⁰¹¹ - 1 + 1)

= 35.7²⁰¹¹

= 35.7.7.7²⁰⁰⁹

= 1715.7²⁰⁰⁹ \(⋮\)1715

=> M \(⋮\)1715(ĐPCM)

ta có thể viết : 5a - 9b + 2009 như sau : 

5a + 5b - 14b + 2009

5 ( a + b ) - 14b + 2009

ta thấy : ( a + b ) chia hết 7 ( theo đề bài ) => 5( a + b ) chia hết 7

14b cũng chia hết 7 và 2009 cũng chia hết 7 

từ đó kết luận 5a - 9b + 2009 chia hế cho 7

Ta có : 2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰

       = 2²⁰⁰⁸.(1 + 2 + 2²)

       = 2²⁰⁰⁸.(1 + 2 + 4)

       = 2²⁰⁰⁸.7 \(⋮\)7

\(\Rightarrow\)2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ \(⋮\)10 (đpcm)

\(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\)

\(=2^{2008}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2^{2008}.7⋮7\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\)

\(=2^{2008}\left(1+2+2^2\right).\)

\(2^{2008}.7⋮7\)(vì 7 chia hết cho 7)

Vậy  \(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}⋮7\left(đpcm\right)\)

do a+b chia hết cho 7 =>a chia hết 7,b chia hết 7=> a+8b chia hết cho 7

tương tự ở câu b

c thì chứng minh thêm 2009 chia hết cho 7 là được

Câu a:

TH1 : $n = 3k$

thì $2^n - 1 = 2^{3k} - 1 = 8^k - 1 = (8-1)A = 7A$ chia hết cho $7$

TH2 : $n = 3k+1$

thì $2^n - 1 = 2^{3k+1} - 1 = 2\cdot 8^{k} - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2\cdot (8-1)A + 1 = 2\cdot 7A + 1$ chia $7$ dư $1$ nên $2^n-1$ không chia hết cho $7$

TH3 : $n = 3k+2$

thì $2^n - 1 = 2^{3k+2} - 1 = 4\cdot 8^k - 1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4\cdot (8 - 1)A + 3 = 4\cdot 7A + 3$ chia $7$ dư $3$ nên $2^n-1$ không chia hết cho $7$

Vậy với mọi $n \in \mathbb{Z^+}$ chia hết cho $3$ thì $2^n-1$ chia hết cho $7$

-Nguyễn Thành Trương-

Câu 1b)

+ Với n = 2 ⇒ 3^2−1=8 chia hết cho 8
+ Giả sử với n = k ( k > 1) thì 3^k−1 cũng chia hết cho 8
+ Ta phải chức minh với n = k + 1 thì 3^n − 1 cũng chia hết cho 8 3^n−1=3^k+1−1=3.3^k−1=3.3^k−3=8=3(3^k−1)+8
Ta có 3^k−1 chia hết cho 8
⇒3(3^k−1)chia hết cho 8; 8 chia hết cho 8
=> 3^k+1−1 chia hết cho 8
Kết luận 3^n−1 chia hết cho 8 với n∈N

1d)

\(\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\cdot\cdot\cdot\left(\frac{1}{2009}-1\right)\)

\(=\frac{-1}{2}\cdot\frac{-2}{3}\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{-2008}{2009}\)

\(=\frac{\left(-1\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\cdot\cdot\left(-2008\right)}{2\cdot3\cdot\cdot\cdot2009}\)

\(=\frac{1\cdot2\cdot\cdot\cdot2008}{2\cdot3\cdot\cdot\cdot2009}\)

\(=\frac{1}{2009}\)

1,

\(| x - \frac{2}{7} | = \frac{-1}{5}.\frac{-5}{7}\)

\(|x- \frac{2}{7}|=\frac{1}{7}\)

<=> \(x- \frac{2}{7} = \frac{1}{7} => x= \frac{3}{7} \)

Và \(x - \frac{2}{7} =\frac{-1}{7} => x= \frac{1}{7}\)

Học tốt

\(5^{61}+25^{31}+125^{21}\)

\(=5^{61}+\left(5^2\right)^{31}+\left(5^3\right)^{21}\)

\(=5^{61}\cdot5^{2\cdot31}\cdot5^{3\cdot21}\)

\(=5^{61}+5^{62}+5^{63}\)

\(=5^{61}\cdot\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5^{61}\cdot\left(6+5^2\right)\)

\(=5^{61}\cdot\left(6+25\right)\)

\(=5^{61}\cdot31\)

Vì \(5^{61}\inℤ\)

\(\Rightarrow5^{61}\cdot31⋮31\)

\(\Rightarrow5^{61}+25^{31}+125^{21}⋮31\)

Vậy bài toán đã được chứng minh .