Áp dụng bđt coossi ta dduowcj : \(a+b+c\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow1\ge4a\left(b+c\right)\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu = xảy ra khi a=b+c và b=c và a+b+c=1=>a=1/2;b=c=1/4

tại sao lại ra thế hả bạn

a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có 

 \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)

bh mk can mn ho tro jup mk 2 cau cuoi nha

a) Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

\(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{a+b}}^2\right)+\left(\frac{b}{\sqrt{b+c}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{c+d}}\right)^2+\left(\frac{d}{\sqrt{d+a}}\right)\right]\)\(\times\)\(\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+d}\right)^2+\left(\sqrt{d+a}\right)^2\right]\)\(\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\right)\times2\left(a+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)( chia cả 2 vế cho  \(2\left(a+b+c+d\right)\))

Dấu "=" xảy ra khi : a = b = c = d 

Vậy ...

hai dấu của bạn hỏi là không là tập hợp con

\(\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2=\left(b+c\right)\left(a+\left(b+c\right)\right)^2\ge2\sqrt{bc}.4a\left(b+c\right)\)

\(\ge8\sqrt{bc}.a.2\sqrt{bc}\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra bạn tự kiếm nhé

u trả lời hay nhất:  ta có (b+c)^2/4>=bc =>16abc=<16a(b+c)^2/4=4a(b+c) =4a (1-a)^2 =4a (1-a)(1-a) =(4a-4a^2)(1-a) 
=(1-a) (1- (2a-1)^2) 
Vì (2a-1)^2 >= 0 nên 1- (2a-1)^2 =< 1 suy ra (1-a) (1- (2a-1)^2) =<b+c 
Vậy 16abc=< b+c

p/s :kham khảo

Bạn tham khảo thêm cách này nha 

Ta có: b + c = (b + c).(a + b + c)^2 (vì a + b + c = 1) 
Ta có [ (a + b) + c ]^2 >= 4(a + b)c (vì (x + y)^2 >= 4xy ) 
<=> (b + c).(a + b + c)^2 >= 4(a + b)^2.c 
lại có (a + b)^2 >= 4ab => 4(a + b)^2.c >= 16abc (đpcm) 
bạn tự tìm dấu '=' nha

p/s : kham khảo

\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\Rightarrow4a\left(b+c\right)\le1\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a.4bc=16abc\)

\(\Rightarrow16abc-b-c\le0\)

\(\Rightarrow P_{max}=0\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\)

Ta có \(1=a+b+c\ge a+b\Rightarrow a\le1-b\)

\(Q=16ab-b-c\le16ab-b\le16\left(1-b\right)b-b\)

\(Q\le-16b^2+15b=\frac{225}{64}-16\left(b-\frac{15}{32}\right)^2\le\frac{225}{64}\)

\(Q_{max}=\frac{225}{64}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{17}{32};\frac{15}{32};0\right)\)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

<=>\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) (1)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm

\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)

<=>\(\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

<=>\(1\ge4a\left(b+c\right)\) (2)

nhân (1) với (2) ta đc

\(\left(b+c\right)^2\ge16abc.\left(b+c\right)\)

<=>\(b+c\ge16abc\) (đpcm)

\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

xin lỗi nha khó lắm nhưng chúc mừng năm mới