\(3^x+111=\left(y-3\right)\left(y-5\right)\)

\(3^x+111=y\left(y-5\right)-3\left(y-5\right)\)

\(3^x+111=y^2-5y-3y+15\)

\(3^x+111=y^2-8y+15\)

\(3^x+111-15=y^2-8y\)

\(3^x+96=y^2-8y\)

\(3\left(3^{x-1}+32\right)=y\left(y-8\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}y=3\\3^{x-1}+32=y-8\end{cases}}\)hoặc  \(\hept{\begin{cases}y-8=3\\3^{x-1}+32=y\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}y=3\\3^{x-1}+32=3-8=-5\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y=3+8=11\\3^{x-1}+32=11\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}y=3\\3^{x-1}=-5-32=-37\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y=11\\3^{x-1}=11-32=-21\end{cases}}\)

.............................................................................................................................................................

=> \(x,y\in\varnothing\)

.............................................................................................................................................................

hình như mình làm lộn rồi .............................

cái chỗ => ấy mình lộn 

SORRY

Ta có \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\left(1\right)\)

Vì x,y nguyên dương nên

\(\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)kết hợp (1) ta được:

\(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Mà y+3 >0 (do y>0)\(\Rightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

mà \(x\inℤ^+\)\(\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

*x=1 thay vào (1) ta có:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y^2+5y+8\right)=0\)

mà \(y^2+5y+8=\left(y+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow y-3=0\Leftrightarrow y=3\inℤ^+\)

*y=2 thay vào (1) ta được: 

\(\left(2+y\right)^3=\left(2-y-6\right)^2\Leftrightarrow y^3+6y^2+12y+8=y^2+8y+16\Leftrightarrow y^3+5y^2+4y-8=0\)

Sau đó cm pt trên không có nghiệm nguyên dương.

Vậy x=1;y=3

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge t\)

Có 5(x+y+z+t) = 2xyzt

<=> \(2=\dfrac{5}{yzt}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{5}{xyt}+\dfrac{5}{xzt}+\dfrac{10}{xyzt}\le\dfrac{20}{t^3}+\dfrac{10}{t^4}\le\dfrac{30}{t^3}\)

<=> t³ \(\le15\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

TH1: t = 1

<=> \(2=\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{xz}+\dfrac{10}{xyz}=\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{zx}+\dfrac{15}{xyz}\)

\(\le\dfrac{15}{z^2}+\dfrac{15}{z^3}\le\dfrac{30}{z^2}\)

<=> z² \(\le15\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

- Với z = 1

PT <=> 5 (x+y+2) + 10 = 2xy

<=> (2x-5)(2y-5) = 65

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=35\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y;z;t) = (35;3;1;1) hoặc (9;5;1;1) và có hoán vị

- Với z = 2;3 => Vô nghiệm

TH2: t = 2

PT <=> 5(x+y+z) + 20 = 4xyz

<=> \(4=\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{zx}+\dfrac{20}{xyz}\le\dfrac{35}{z^2}\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}z=1\left(l\right)\\z=2\left(c\right)\end{matrix}\right.\)

<=> 5(x+y+4) + 10 = 8xy

<=> (8x-5)(8y-5) = 265

=> Vô nghiệm

KL: Vậy (x;y;z;t) = (35;3;1;1) hoặc (9;5;1;1) và có hoán vị