Đặt \(A=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=k^3\left(k-1\right)-7k^2\left(k-1\right)+16k\left(k-1\right)-10\left(k-1\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left(k^3-7k^2+16k-10\right)\)

\(=\left(k-1\right)\left[k^2\left(k-1\right)-6k\left(k-1\right)+10\left(k-1\right)\right]\)

\(=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Để A là số chính phương thì \(k^2-6k+10\) là số chính phương hoặc \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

-Nếu k² - 6k + 10 là số chính phương thì ta đặt \(k^2-6k+10=t^2\left(t\in Z\right)\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2+1=t^2\)

\(\Rightarrow\left(k-3\right)^2-t^2=-1\)

\(\Rightarrow\left(k-t-3\right)\left(k+t-3\right)=-1\)

Vì k,t là số nguyên nên ta có: 

\(TH1:\hept{\begin{cases}k-t-3=-1\\k+t-3=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=2\\k+t=4\end{cases}\Rightarrow k=\left(2+4\right):2=3}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}k-t-3=1\\k+t-3=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k-t=4\\k+t=2\end{cases}\Rightarrow}k=\left(4+2\right):2=3\)

-Nếu \(\orbr{\begin{cases}k-1=0\\k^2-6k+10=0\end{cases}}\)

Mà \(k^2-6k+10=\left(x-3\right)^2+1>0\forall x\)

\(\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\) (thỏa mãn)

Vậy \(k\in\left\{1;3\right\}\)

Đặt \(B=k^4-8k^3+23k^2-26k+10\)

\(=\left(k^4-2k^2+1\right)-8k\left(k^2-2k+1\right)+9k^2-18k+1\)

\(=\left(k^2-1\right)^2-8k\left(k-1\right)^2+9\left(k-1\right)^2\)

\(=\left(k-1\right)^2\left[\left(k-3\right)^2+1\right]\)

Vì B là SCP

\(\Rightarrow\left(k-1\right)^2=0\)hoặc \(\left(k-3\right)^2+1\)là SCP

\(TH1:\left(k-1\right)^2=0\Rightarrow k-1=0\Rightarrow k=1\)

\(TH2:\left(k-3\right)^2+1\)

Đặt \(\left(k-3\right)^2+1=n^2\left(n\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2-\left(k-3\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-k+3=1\\n+k-3=1\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}n-k+3=-1\\n-k+3=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=1;k=3\\n=-1;k=3\end{cases}}\Rightarrow k=3\)

Vậy ....

Dễ dàng CM được (k2−4k+3)2≤A2<(k2−4k+6)2 
Do đó A2=(k2−4k+3)2 hoặc A2=(k2−4k+4)2hoặc A2=(k2−4k+5)2 
Từ đó tìm được k=1 hoặc k=3

Ta có:

\(k^4-8k^3+23k^2-26k+10=\left(k-1\right)^2\left(k^2-6k+10\right)\)

Dễ thấy: \(\left(k-1\right)^2\) là số chính phương nên để \(k^4-8k^3+23k^2-26k+10\) là SCP thì \(k^2-6k+10\) phải là SCP

Đặt \(k^2-6k+10=n^2\) thì \(\left(n-k+3\right)\left(n+k-3\right)=1\)

Mà k nguyên suy ra \(k=3\)

\(k=3\)

K= 3 nha bạn

Vì \(4x^3+14x^2+9x-6\) là số chính phương nên ta có \(4x^3+14x^2+9x-6=k^2\) với \(k\inℕ\)
Ta có \(4x^3+14x^2+9x-6=\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)\)nên ta có \(\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)=k^2\)

Đặt \(\left(x+2;4x^2+6x-3\right)=d\)với \(d\inℕ^∗\)
Ta có \(x+2⋮d\Rightarrow\left(x+2\right)\left(4x-2\right)⋮d\Rightarrow4x^2+6x-4⋮d\)
Ta lại có \(4x^2+6x-3⋮d\Rightarrow\left(4x^2+6x-3\right)-\left(4x^2+6x-4\right)=1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)(Vì \(d\inℕ^∗\))
Vậy \(\left(x+2;4x^2+6x-3\right)=1\)
mà \(\left(x+2\right)\left(4x^2+6x-3\right)=k^2\)nên ta có:

x + 2 và 4x² + 6x - 3 là số chính phương\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+2=a^2\\4x^2+6x-3=b^2\end{cases}}\left(a,b\right)\inℕ^∗\)

Vì x > 0 nên ta có \(4x^2< b^2< 4x^2+12x+9\Leftrightarrow\left(2x\right)^2< b^2< \left(2x+3\right)^2\)
Vì b lẻ nên \(b^2=\left(2x+1\right)^2\Leftrightarrow4x^2+6x-3=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\)
Vậy x = 2 thì \(4x^3+14x^2+9x-6\)là số chính phương

Đây nha bn

 http://olm.vn/hoi-dap/detail/97831197795.html

x=2 thì biểu thức = 100 = 10²

Ta có : 4x³ + 14x² + 9x - 6 = ( x + 2 ) ( 4x² + 6x - 3 )

Mà ( x + 2 ; 4x² + 6x - 3 ) = 1 ( tự c/m ) nên để 4x³ + 14x² + 9x - 6 là SCP

\(\Rightarrow\)x + 2 và 4x² + 6x - 3 là SCP

đặt x + 2 = a² ; 4x² + 6x - 3 = b²  \(\Rightarrow\)x = a² - 2

thay vào ta có :

4 ( a² - 2 )² + 6 ( a² - 2 ) - 3 = b² hay 4a⁴ - 10a² + 1= b²

\(\Rightarrow\)16a⁴ - 40a² + 4= 4b² \(\Rightarrow\)( 4a² - 2b - 5 ) ( 4a² + 2b - 5 ) = 21

Mà 0 < 4a² - 2b - 5 < 4a² + 2b - 5 

\(\Rightarrow\)lập bảng làm .... kết luận x = 2

Đặt M = k 4 − 8 k 3 + 23 k 2 − 26 k + 10  

Ta có M = ( k 4 − 2 k 2 + 1 ) − 8 k ( k 2 − 2 k + 1 ) + 9 k 2 − 18 k + 9 = ( k 2 − 1 ) 2 − 8 k ( k − 1 ) 2 + 9 ( k − 1 ) 2 = ( k − 1 ) 2 . ( k − 3 ) 2 + 1   

M là số chính phương khi và chỉ khi  ( k − 1 ) 2 = 0  hoặc ( k − 3 ) 2 + 1  là số chính phương.

TH 1. ( k − 1 ) 2 = 0 ⇔ k = 1.  

TH 2. ( k − 3 ) 2 + 1  là số chính phương, đặt ( k − 3 ) 2 + 1 = m 2 ( m ∈ ℤ )  

⇔ m 2 − ( k − 3 ) 2 = 1 ⇔ ( m − k + 3 ) ( m + k − 3 ) = 1  

Vì  m , k ∈ ℤ ⇒ m − k + 3 ∈ ℤ , m + k − 3 ∈ ℤ  nên

m − k + 3 = 1 m + k − 3 = 1 hoặc  m − k + 3 = − 1 m + k − 3 = − 1 ⇔ m = 1 , k = 3 m = − 1 , k = 3 ⇒ k = 3

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k 4 − 8 k 3 + 23 k 2 − 26 k + 10  là số chính phương