a) \(\left(x+y+1\right)^3=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[x\left(1+y\right)+1+y\right]=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)=2\)

\(\Rightarrow x+1,y+1,x+y\) là các ước của 2.

Ta thấy 6 có 2 dạng phân tích thành tích 3 số nguyên là \(\left(2;1;1\right)\) và\(\left(2;-1;-1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;1;1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)

Giải ra ta có \(\left(x,y\right)=\left(1;0\right),\left(0;1\right)\).

- Xét trường hợp \(\left(2;-1;-1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=-1\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\).

Giải ra ta có: \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right),\left(1;0\right),\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\)

b) \(y^2+2xy-8x^2-5x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(9x^2+5x\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\right)+\dfrac{25}{36}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=\dfrac{47}{36}\)

\(\Leftrightarrow6^2.\left(x+y\right)^2-3^2.6^2\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y\right)^2-\left(18x+5\right)^2=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6x+6y-18x-5\right)\left(6x+6y+18x+5\right)=47\)

\(\Leftrightarrow\left(6y-12x-5\right)\left(24x+6y+5\right)=47\)

\(\Rightarrow\)6y-12x-5 và 24x+6y+5 là các ước của 47.

Lập bảng:

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x;y) nguyên là (1;3) và (1;-5)

Bạn tham khảo hình ảnh :

Cre : lazi.vn

Hok tốt

bạn tham khảo:

nguồn: lazi.vn

~HT~

Ta có |x| + 2019|y - 2020| = 1

=> |x| \(\le\)1

mà |x| \(\ge0\forall x\)

=> \(0\le\left|x\right|\le1\Rightarrow x\in\left\{0;1;-1\right\}\)

Thay x = 0 vào |x| + 2019|y - 2020| = 1

=> 0 + 2019|y - 2020| = 1

<=> \(\left|y-2020\right|=\frac{1}{2019}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}y-2020=\frac{1}{2019}\\y-2020=-\frac{1}{2019}\end{cases}}\Leftrightarrow y=2020\pm\frac{1}{2019}\)(loại) 

Thay x = 1 vào phương trình 

=> 2019|y - 2020| = 0 

<=> |y - 2020| = 0

<=> y - 2020 = 0

<=> y = 2020

Khi x = -1 => 2019|y - 2020| = 0

<=> |y - 2020| = 0

=> y - 2020 = 0

=> y = 2020

Vậy cặp (x;y) thỏa là (1;2020)  ; (-1;2020) 

x^2019+y^2019+z^2019=1

Sửa đề phải là \(x,y,z\ge0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x,y,z\ge0\\x+y+z=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow0\le x,y,z\le1\)

\(\Rightarrow0\le x^2,y^2,z^2\le1\)

Theo đề bài ta có

\(x^3+y^3+z^3=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)+y\left(1-y^2\right)+z\left(1-z^2\right)=0\)

Để dấu = xảy ra và kết hợp với điều kiện đề bài thì ta suy ra được trong 3 số x, y, z có 2 số = 0 và 1 số = 1

\(\Rightarrow S=1\)

\(\Rightarrow2019\left|x-1\right|+2020\left|y-2\right|+2021\left|y-3\right|+2022\left|y-4\right|=2020+2022\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|=0\\\left|y-4\right|=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)