avt Rias :))

2ⁿ - 1 - 2 - 2² - ... - 2¹⁰⁰ = 1

<=> 2ⁿ - ( 1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁰⁰ ) = 1 (*)

Đặt A = 1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁰⁰

2A = 2( 1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁰⁰ )

      = 2 + 2² + ... + 2¹⁰¹

=> A = 2A - A

         = 2 + 2² + ... + 2¹⁰¹ - ( 1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁰⁰ )

         = 2 + 2² + ... + 2¹⁰¹ - 1 - 2 - 2² - ... - 2¹⁰⁰ 

         = 2¹⁰¹ - 1

Thế vào (*) ta được

2ⁿ - ( 2¹⁰¹ - 1 ) = 1

<=> 2ⁿ - 2¹⁰¹ + 1 = 1

<=> 2ⁿ = 1 - 1 + 2¹⁰¹

<=> 2ⁿ = 2¹⁰¹

<=> n = 101

Vậy ...

2n+5 chia hết cho n+1

=>2n+2+3 chia hết cho n+1

=>2(n+1)+3 chia hết cho n+1

Vì 2(n+1) chia hết cho n+1

=>3 chia hết cho n+1

=>n+1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}

Mà n thuộc N => n+1 thuộc N => n+1 thuộc {1;3}

Ta có: n+1=1=>n=0 (tm)

n+1=3 => n=2 (tm)

Vậy n={0;2}

dãy số có n số hạng

tổng dãy số là (n + 1) x n : 2 = 465 

n x (n+1) = 930 

nhận thấy n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp 

có 30 x 31 =  930

vậy n = 30

Đó là dãy số có n số hạng

Tổng dãy số đó là (n+1)xn|2=465

nx(n+1)=930

vậy n=30

 len chua be mot canh sen

N=1 nha!@#$%&*

Với n = 0 => A = 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ = 4( loại ) 

Với n = 1 => A=  1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ = 10 \(⋮\)5 ( t/m ) 

Với n \(\ge\)2 

+) Nếu n là số chẵn => n = 2k ( k \(\in\)N) 

=> A = 1 + 4^k + 9^k + 16^k 

Ta thấy : 4 chia 5 dư ( - 1 ) => 4^k chia 5 dư ( -1 )^k 

              : 9 chia 5 dư ( - 1 ) => 9^k chia 5 dư ( - 1 )^k 

               : 16 chia 5 dư 1 => 16^k chia 5 dư 1

=> A chia 5 dư 1 + ( - 1 )^k + ( - 1 )^k + 1 

Nếu k chẵn => A chia 5 dư 4 ( loại ) 

Nếu k lẻ => k = 2m + 1 ( m \(\in\)N ) 

=> A = 1 + 4^2m . 4 + 9^2m . 9 + 16^2m . 16 

        =  1 + 16^m . 4 + 81^m . 9 + 256^m .16 

Vì 16 ; 81 ; 256 chia 5 dư 1 => A chia 5   có số dư bằng ( 1 + 4 + 9 +16 ) cho 5 => A \(⋮\) 5 

=> n = 2. ( 2m + 1 ) = 4m + 2 thì A  \(⋮\)5

Nếu n lẻ => n = 2h + 1 ( h \(\in\)N

=> A = 1 + 4^h  . 2 + 9^h . 3 + 16^h . 4 

=> A chia 5 dư 1 +( -1)^h .2 + (-1)^h . 3 + 4 

Khi h lẻ để A \(⋮\)5 => n = 2. ( 2.i + 1 ) + 1 = 4.i + 3 ( i \(\in\)N ) 

+) TH1:  n = 4k; k là số tự nhiên 

Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}\equiv4\left(mod5\right)\)

=> n = 4k loại

+) TH2: n = 4k + 1; k là số tự nhiên 

Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+1}+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}\equiv0\left(mod5\right)\)

=> n = 4k + 1 thỏa mãn

+) TH3: n = 4k + 2; k là số tự nhiên 

Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+2}+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}\equiv0\left(mod5\right)\)

=> n = 4k + 2 thỏa mãn

+) Th4: n = 4k + 3; k là số tự nhiên 

Ta có: \(1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4k+3}+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}\equiv0\left(mod5\right)\)

=> n = 4k + 4 thỏa mãn

Vậy với mọi số tự nhiên n khác 4k hay n không chia hết cho 4 thì 

\(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5

Lời giải:

Hiệu hai số đó là: $100+1=101$
Số bé là: $(2009-101):2=954$

Số lớn là: $954+101=1055$