Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương 

 Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6  a2  a 2  4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96  Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương

ta biet scp co chu so hang don vi la 6 thi chu so hang chuc la le =>1+3+5+7+9=25 la scp

Lời giải:

Gọi phần tận cùng của scp là $\overline{bc}$ với $b,c$ là số tự nhiên có 1 chữ số. $b$ lẻ nên $b=2k+1$ với $k$ tự nhiên.

Vì scp chia $4$ có dư $0$ hoặc $1$ nên $\overline{bc}$ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$

$\Rightarrow 10b+c\equiv 0,1\pmod 4$

$\Rightarrow 10(2k+1)+c\equiv 0,1\pmod 4$

$\Rightarrow c+10\equiv 0,1\pmod 4$

$\Rightarrow c\equiv 2,3\pmod 4(1)$

Mà $c$ có 1 chữ số nên $c=2,3,6,7$ (1)

Lại có:

SCP chia 5 dư $0,1,4$

$\Rightarrow \overline{bc}\equiv 0,1,4\pmod 5$

$\Rightarrow 10b+c=10(2k+1)+c=c+10\equiv 0,1,4\pmod 5$

$\Rightarrow c\equiv 0,1,4\pmod 5$

$\Rightarrow c=0,1,4,6$ (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow c=6$

Lời giải:

1.

Gọi số chính phương có tận cùng là $5$ là $a^2$. Khi đó $a$ cũng phải có tận cùng là $5$

Đặt \(a=\overline{A5}\)

\(\Leftrightarrow a^2=(\overline{A5})^2=(10A+5)^2=100A^2+100A+25\)

\(\Rightarrow a^2\) chia $100$ dư $25$ nên $a^2$ có tận cùng là $25$ hay chữ số hàng chục là $2$

--------------------

2.

Giả sử tồn tại số chính phương $a^2$ có tận cùng là $6$ và chữ số hàng chục là số chẵn.

Khi đó, $a^2$ có thể có tận cùng là $06,26,46,...,86$ $\rightarrow a^2$ không chia hết cho $4$ (1)

Mà $a^2$ có tận cùng bằng $6$ $\rightarrow a^2$ là scp chẵn, $\rightarrow a$ chẵn, $\rightarrow a.a=a^2$ chia hết cho $4$ (mâu thuẫn với (1))

Do đó không tồn tại số cp có tận cùng bằng $6$ mà chữ số hàng chục chẵn. Hay 1 số cp có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.

3.

Giả sử tồn tại số chính phương $a^2$ có tận cùng là $4$ mà chữ số hàng chục lẻ.

Khi đó $a^2$ có thể có tận cùng $14,34,...,94$. Những số trên đều không chia hết cho $4$ nên $a^2$ không chia hết cho $4$ (1)

Mà $a^2$ tận cùng là $4$ nên $a^2$ là scp chẵn. Do đó $a$ chẵn hay $a\vdots 2$

$\rightarrow a^2=a.a\vdots 4$ (mâu thuẫn với (1))

Do đó không tồn tại scp có tận cùng bằng 4 mà chữ số hàng chục lẻ. Hay một số cp có tận cùng là 4 thì chữ số hàng hàng chục là số chẵn.

-----------------

4.

Gọi $a^2$ là scp có tận cùng $n$ chữ số $0$. Khi đó $a$ cũng phải có tận cùng bẳng $0$

Đặt \(a^2=(\overline{A0...0})^2\) ($n$ chữ số 0)

\(=(10^nA)^2=10^{2n}A^2=A^2.10...0\) ($n$ chữ số 0)

Hay $a^2$ có tận cùng là $2n$ chữ số $0$. $2n$ là số chẵn nên $a^2$ có lượng chẵn chữ số 0 tận cùng (đpcm)